Encontre a primeira derivada das funções abaixo utilizando as regras de derivação do produto, quociente e a regra da cadeia, calcule a primeira derivada das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira derivada da função usando as regras de derivação, como a regra do quociente, produto e cadeia. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre essas regras e como aplicá-las na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que a gente consiga aplicar uma regra de derivação específica. Sabemos que pode ser escrita como . Isso vai ser útil porque, agora, temos uma fração de duas funções que podemos derivar usando a regra do quociente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.

Passo 4

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
Lembrando que a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Aplicando a regra do quociente na nossa função:
Vamos simplificar agora as contas no numerador.

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então:
Sabemos que , então:

Resposta

A primeira derivada de é .

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Ache a área da região entre os gráficos de e para restrito ao intervalo dado.
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Encontre usando a definição as derivadas das seguintes funções:
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