Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de áreas usando coordenadas polares. A gente precisa encontrar a área que está dentro da primeira equação e fora da segunda equação
. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se interceptam e depois calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver . Sabemos que o seno de um ângulo é
quando o ângulo é
ou
. Então:
Dividindo por 2:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, precisamos determinar qual curva está por cima e qual está por baixo nesse intervalo. Observando as equações:
- Para , podemos escrever
- E temos
No intervalo de
a
, o valor de
da primeira equação é maior que
. Ou seja, a primeira curva está por fora da segunda.
Passo 5
Agora que sabemos qual curva está por cima, vamos calcular a área entre elas usando a fórmula de área em coordenadas polares:
Onde:
Substituindo na fórmula:
Resposta
Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites de integração:
Simplificando:
Substituindo:
Portanto, a área da região é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura)
pelos planos
e
.
Figura 1: Superfície
A equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Ache a excentricidade, identifique a cônica, escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.