Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de áreas usando coordenadas polares. A gente precisa encontrar a área que está dentro da primeira equação e fora da segunda equação . Para isso, vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se interceptam e depois calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver . Sabemos que o seno de um ângulo é quando o ângulo é ou . Então:
Dividindo por 2:

Passo 4

Com os valores de encontrados, precisamos determinar qual curva está por cima e qual está por baixo nesse intervalo. Observando as equações:
  • Para , podemos escrever
  • E temos
No intervalo de a , o valor de da primeira equação é maior que . Ou seja, a primeira curva está por fora da segunda.

Passo 5

Agora que sabemos qual curva está por cima, vamos calcular a área entre elas usando a fórmula de área em coordenadas polares:
Onde:
Substituindo na fórmula:

Resposta

Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites de integração:
Simplificando:
Substituindo:
Portanto, a área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura) pelos planos e .
Figura 1: Superfície
A equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Ache a excentricidade, identifique a cônica, escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.