Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura)
pelos planos
e
.
Figura 1: Superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pela superfície
e pelos planos
e
. Para isso, vamos usar integração múltipla, ou seja, integrais duplas ou triplas, dependendo da abordagem que escolhermos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A superfície
é um cilindro parabólico que se abre ao longo do eixo x. Os planos
é o plano xy, e
é um plano inclinado que corta o eixo z.
Passo 3
Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração. Vamos expressar
em função de
: da equação
, temos
. Assim,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
e
. A equação
nos mostra que, para cada valor de
,
varia de
a
. Além disso, como
deve ser positivo,
varia de 0 a 26.
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral triplas para calcular o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro. A integral de
de 0 a
é simplesmente
:
Passo 7
Agora, integremos com respeito a
. Como
não depende de
, a integral fica:
Passo 8
Simplificando a expressão, temos:
Vamos expandir
:
Passo 9
Agora, calculamos as integrais separadamente:
Então,
Passo 10
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 11
Fatorando
:
Calculando os coeficientes:
Então,
Passo 12
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos:
.
Calcule a integral
onde B é o semicírculo
y
e
.
Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)