Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura) pelos planos e .
Figura 1: Superfície

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pela superfície e pelos planos e . Para isso, vamos usar integração múltipla, ou seja, integrais duplas ou triplas, dependendo da abordagem que escolhermos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A superfície é um cilindro parabólico que se abre ao longo do eixo x. Os planos é o plano xy, e é um plano inclinado que corta o eixo z.

Passo 3

Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração. Vamos expressar em função de : da equação , temos . Assim, varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para e . A equação nos mostra que, para cada valor de , varia de a . Além disso, como deve ser positivo, varia de 0 a 26.

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral triplas para calcular o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro. A integral de de 0 a é simplesmente :

Passo 7

Agora, integremos com respeito a . Como não depende de , a integral fica:

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:
Vamos expandir :

Passo 9

Agora, calculamos as integrais separadamente:
Então,

Passo 10

Substituindo e :
Sabemos que , então:

Passo 11

Fatorando :
Calculando os coeficientes:
Então,

Passo 12

Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos: .
Calcule a integral
onde B é o semicírculo y e .
Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)