Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelo gráfico de diferentes equações em coordenadas polares. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais em coordenadas polares, especificamente a fórmula da área:
Vamos precisar identificar os limites de integração (
e
) para cada equação e então calcular a integral para achar a área.
Passo 2
Parte a)
Esta é a equação de um círculo com raio
e centrado no eixo
. Para encontrar a área, primeiro identificamos os limites de
. Como o círculo completo é traçado quando
varia de
a
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da área:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Calculando as integrais:
E
Então, a área é:
Passo 5
Parte b)
Essa equação representa uma cardioide. Para encontrar a área, precisamos determinar os limites de
onde a curva completa se fecha. Observando o gráfico, a curva completa é traçada quando
varia de
a
.
Passo 6
Usando a fórmula da área:
Expandindo o quadrado:
Então:
Passo 7
Separando as integrais:
Sabemos que:
E
Então:
Passo 8
Parte c)
Essa equação descreve uma lemniscata. Para encontrar a área, primeiro resolvemos para
:
A área é calculada onde
, ou seja, quando
está entre
e
, e entre
e
, etc.
Passo 9
Considerando a simetria da lemniscata, calculamos a área de uma das folhas e multiplicamos por 2:
Integrando:
Passo 10
Parte d)
Essa equação pode ser simplificada usando identidades trigonométricas. Primeiro, reconhecemos que
, então:
Podemos expandir:
Usando a identidade
, temos:
Passo 11
Agora, para encontrar a área:
Expandindo o quadrado:
Usando identidades trigonométricas:
E
Passo 12
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 13
Calculando as integrais:
Portanto:
Resposta
A área da região limitada pela equação
é
unidades de área.
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Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes horizontais e verticais.
Ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados.