Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelo gráfico de diferentes equações em coordenadas polares. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais em coordenadas polares, especificamente a fórmula da área:
Vamos precisar identificar os limites de integração ( e ) para cada equação e então calcular a integral para achar a área.

Passo 2

Parte a)

Esta é a equação de um círculo com raio e centrado no eixo . Para encontrar a área, primeiro identificamos os limites de . Como o círculo completo é traçado quando varia de a .

Passo 3

Aplicando a fórmula da área:
Sabemos que , então:

Passo 4

Calculando as integrais:
E
Então, a área é:

Passo 5

Parte b)

Essa equação representa uma cardioide. Para encontrar a área, precisamos determinar os limites de onde a curva completa se fecha. Observando o gráfico, a curva completa é traçada quando varia de a .

Passo 6

Usando a fórmula da área:
Expandindo o quadrado:
Então:

Passo 7

Separando as integrais:
Sabemos que:
E
Então:

Passo 8

Parte c)

Essa equação descreve uma lemniscata. Para encontrar a área, primeiro resolvemos para :
A área é calculada onde , ou seja, quando está entre e , e entre e , etc.

Passo 9

Considerando a simetria da lemniscata, calculamos a área de uma das folhas e multiplicamos por 2:
Integrando:

Passo 10

Parte d)

Essa equação pode ser simplificada usando identidades trigonométricas. Primeiro, reconhecemos que , então:
Podemos expandir:
Usando a identidade , temos:

Passo 11

Agora, para encontrar a área:
Expandindo o quadrado:
Usando identidades trigonométricas:
E

Passo 12

Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 13

Calculando as integrais:
Portanto:

Resposta

A área da região limitada pela equação é unidades de área.

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A equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Ache a excentricidade, identifique a cônica, escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem.
Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)
Determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes horizontais e verticais.
Ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados.