Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
cc a) r=3 cos theta & b) r=2-sen theta c) r^2=4 sen 2 theta & d) r =4 sen^2 theta cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelo gráfico de diferentes equações em coordenadas polares. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais em coordenadas polares, especificamente a fórmula da área:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Vamos precisar identificar os limites de integração ( e ) para cada equação e então calcular a integral para achar a área.

Passo 2

Parte a)

Esta é a equação de um círculo com raio e centrado no eixo . Para encontrar a área, primeiro identificamos os limites de . Como o círculo completo é traçado quando varia de a .

Passo 3

Aplicando a fórmula da área:
A = 12 integral-pi2^pi2 (3 cos theta)^2 , dtheta = 92 integral-pi2^pi2 cos^2 theta , dtheta
Sabemos que A = 92 integral-pi2^pi2 1 + cos 2theta2 , dtheta = 94 [ integral-pi2^pi2 1 , dtheta + integral-pi2^pi2 cos 2theta , dtheta ] , então:

Passo 4

Calculando as integrais:
integral-pi2^pi2 1 , dtheta = pi
E
integral-pi2^pi2 cos 2theta , dtheta = 0
Então, a área é:
A = 94 cdot pi = 9pi4

Passo 5

Parte b)

Essa equação representa uma cardioide. Para encontrar a área, precisamos determinar os limites de onde a curva completa se fecha. Observando o gráfico, a curva completa é traçada quando varia de a .

Passo 6

Usando a fórmula da área:
A = 12 integral0^2pi (2 - sin theta)^2 , dtheta
Expandindo o quadrado:
(2 - sin theta)^2 = 4 - 4 sin theta + sin^2 theta
Então:
A = 12 integral0^2pi (4 - 4 sin theta + sin^2 theta) , dtheta

Passo 7

Separando as integrais:
A = 12 [ 4 integral0^2pi 1 , dtheta - 4 integral0^2pi sin theta , dtheta + integral0^2pi sin^2 theta , dtheta ]
Sabemos que:
integral0^2pi sin theta , dtheta = 0
E
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Então:
A = 12 [ 4 cdot 2pi + 0 + 12 integral0^2pi (1 - cos 2theta) , dtheta ] = 12 [ 8pi + 12 cdot 2pi ] = 12 (8pi + pi) = 9pi2

Passo 8

Parte c) r = raiz4 sin 2theta = 2 raizsin 2theta

Essa equação descreve uma lemniscata. Para encontrar a área, primeiro resolvemos para :
A área é calculada onde , ou seja, quando está entre e , e entre e , etc.

Passo 9

Considerando a simetria da lemniscata, calculamos a área de uma das folhas e multiplicamos por 2:
A = 2 cdot 12 integral0^pi2 4 sin 2theta , dtheta = integral0^pi2 4 sin 2theta , dtheta
Integrando:
A = 4 [ -cos 2theta2 ]0^pi2 = 4 ( -cos pi2 + cos 02 ) = 4 ( --12 + 12 ) = 4 ( 12 + 12 ) = 4 cdot 1 = 4

Passo 10

Parte d) r = 4 cdot 1 - cos 2theta2 cdot cos theta = 2 (1 - cos 2theta) cos theta

Essa equação pode ser simplificada usando identidades trigonométricas. Primeiro, reconhecemos que r = 2 cos theta - 2 cos theta cos 2theta , então:
r = 2 cos theta - 2 cdot cos 3theta + cos theta2 = 2 cos theta - (cos 3theta + cos theta) = cos theta - cos 3theta
Podemos expandir:
Usando a identidade , temos:

Passo 11

Agora, para encontrar a área:
A = 12 integral0^2pi (cos theta - cos 3theta)^2 , dtheta
Expandindo o quadrado:
(cos theta - cos 3theta)^2 = cos^2 theta - 2 cos theta cos 3theta + cos^2 3theta
Usando identidades trigonométricas:
cos theta cos 3theta = cos 4theta + cos 2theta2
E
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2, cos^2 3theta = 1 + cos 6theta2

Passo 12

Substituindo na integral:
A = 12 integral0^2pi ( 1 + cos 2theta2 - 2 cdot cos 4theta + cos 2theta2 + 1 + cos 6theta2 ) dtheta
Simplificando:
A = 12 integral0^2pi ( 1 + cos 2theta - cos 4theta - cos 2theta + 1 + cos 6theta2 ) dtheta = 14 integral0^2pi (2 - cos 4theta + cos 6theta) , dtheta

Passo 13

Calculando as integrais:
integral0^2pi 2 , dtheta = 4pi
integral0^2pi cos 4theta , dtheta = 0
integral0^2pi cos 6theta , dtheta = 0
Portanto:
A = 14 cdot 4pi = pi

Resposta

A área da região limitada pela equação é unidades de área.

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