Faça um esboço do gráfico da equação dada.
ll a) r sen theta=-4 & b) r=-5 cos theta c) r=3-4 cos theta & d) r=4 sen 2 theta e) r=e^theta & f) r =2 sen theta t g theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazer um esboço do gráfico das equações polares listadas de a) a f). A matéria aqui envolve coordenadas polares e como transformar essas equações para desenhar seus gráficos. Vamos precisar entender as formas básicas das funções trigonométricas e como elas se comportam no sistema polar.

Passo 2

a)
Primeiro, vamos isolar r = -4sen theta :
Isso significa que para cada ângulo r = 4 cdot csc theta , o raio é igual a -4 dividido pelo seno de . Como negativo indica que o ponto está na direção oposta ao ângulo , podemos reescrever a equação como:
Sabendo que , percebemos que essa função não é uma função trigonométrica padrão e seu gráfico será uma hipérbole no sistema polar.

Passo 3

b)
Aqui, temos uma função do tipo . O gráfico dessa função é um círculo com raio e centrado no eixo . No nosso caso, , mas devido ao sinal negativo, o círculo estará centrado no lado oposto do eixo .

Passo 4

c)
Esta é uma equação da forma . Dependendo dos valores de e , o gráfico pode ser um cardioide ou um diente de serra. Aqui, como , o gráfico será um cardioide deslocado em relação ao eixo das .

Passo 5

d)
Esta é uma função com um fator angular multiplicado, , o que indica que o gráfico terá mais de um “pétala”. Especificamente, para , se é par, o gráfico terá pétalas. Portanto, teremos 4 pétalas neste caso.

Passo 6

e)
Esta é uma equação que representa uma espiral logarítmica. Conforme aumenta, cresce exponencialmente, resultando em uma espiral que se afasta do polo (origem).

Passo 7

f)
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que , então:
Essa equação não corresponde a nenhuma forma padrão de gráfico polar, e o esboço será mais complexo, possivelmente envolvendo curvas com pontos de singularidade onde r = 2 cdot sen theta cdot sen thetacos theta = 2 sen^2 thetacos theta .

Resposta

Fizemos o esboço dos gráficos para todas as equações polares de a) a f), identificando suas principais características e tipos de curvas, como hipérboles, círculos, cardioides, pétalas de flores, espirais logarítmicas e curvas mais complexas.

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