Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazer um esboço do gráfico das equações polares listadas de a) a f). A matéria aqui envolve coordenadas polares e como transformar essas equações para desenhar seus gráficos. Vamos precisar entender as formas básicas das funções trigonométricas e como elas se comportam no sistema polar.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos isolar
:
Isso significa que para cada ângulo
, o raio
é igual a -4 dividido pelo seno de
. Como
negativo indica que o ponto está na direção oposta ao ângulo
, podemos reescrever a equação como:
Sabendo que , percebemos que essa função não é uma função trigonométrica padrão e seu gráfico será uma hipérbole no sistema polar.
Passo 3
b)
Aqui, temos uma função do tipo
. O gráfico dessa função é um círculo com raio
e centrado no eixo
. No nosso caso,
, mas devido ao sinal negativo, o círculo estará centrado no lado oposto do eixo
.
Passo 4
c)
Esta é uma equação da forma
. Dependendo dos valores de
e
, o gráfico pode ser um cardioide ou um diente de serra. Aqui, como
, o gráfico será um cardioide deslocado em relação ao eixo das
.
Passo 5
d)
Esta é uma função com um fator angular multiplicado,
, o que indica que o gráfico terá mais de um “pétala”. Especificamente, para , se
é par, o gráfico terá
pétalas. Portanto, teremos 4 pétalas neste caso.
Passo 6
e)
Esta é uma equação que representa uma espiral logarítmica. Conforme
aumenta,
cresce exponencialmente, resultando em uma espiral que se afasta do polo (origem).
Passo 7
f)
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que , então:
Essa equação não corresponde a nenhuma forma padrão de gráfico polar, e o esboço será mais complexo, possivelmente envolvendo curvas com pontos de singularidade onde
.
Resposta
Fizemos o esboço dos gráficos para todas as equações polares de a) a f), identificando suas principais características e tipos de curvas, como hipérboles, círculos, cardioides, pétalas de flores, espirais logarítmicas e curvas mais complexas.