A equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Ache a excentricidade, identifique a cônica, escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem.
a) r=52+sen theta & b) r=41-3 cos theta c) r=73+4 cos theta & d) r=107-2 sen theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre equações de cônicas que têm um foco na origem. Nosso objetivo é encontrar a excentricidade de cada uma dessas cônicas, identificar qual tipo de cônica é (parábola, elipse ou hipérbole) e escrever a equação da diretriz correspondente ao foco na origem. Para isso, vamos precisar entender como as equações das cônicas se apresentam em coordenadas polares e como identificar os parâmetros importantes delas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
a) r = e cdot d1 + e cdot sin theta
Primeiro, identificamos a forma geral da equação da cônica em coordenadas polares com foco na origem:
r = 52 + sin theta = 52 + 1 cdot sin theta
onde:
  • e = 1 e e cdot d = 5 é a excentricidade,
  • d = 51 = 5 é a distância da diretriz ao foco.
Comparando com a equação dada:
y = -d = -5
Podemos ver que:
Então:
A excentricidade indica que a cônica é uma parábola.
Agora, para encontrar a equação da diretriz. Sabemos que para uma parábola com foco na origem e equação , a diretriz está relacionada ao ângulo dado. No caso, como o termo é , a diretriz é horizontal.
A equação da diretriz é:

Passo 3

Vamos para a segunda equação:
b) r = e cdot d1 + e cdot cos theta
Novamente, usando a forma geral:
r = 41 - 3 cos theta = 41 + (-3) cos theta
Compare com a equação dada:
e cdot d = 4 e e = 3
Aqui:
d = 43
Então:
x = de = 43 cdot 3 = 49
A excentricidade maior que 1 indica que a cônica é uma hipérbole.
A diretriz para essa hipérbole, como o termo é , será vertical. A equação da diretriz é:

Passo 4

Agora, a terceira equação:
c) r = e cdot d1 + e cdot cos theta
Usando a forma geral:
r = 73 + 4 cos theta = 73 + 4 cos theta
Comparando:
e cdot d = 7 e e = 4
Aqui:
d = 74
Então:
x = de = 74 cdot 4 = 716
A excentricidade maior que 1 indica que a cônica é uma hipérbole.
A diretriz, como o termo é , será vertical. A equação da diretriz é:

Passo 5

Finalmente, a quarta equação:
d) r = e cdot d1 + e cdot sin theta
Usando a forma geral:
r = 107 - 2 sin theta = 107 + (-2) sin theta
Comparando:
e cdot d = 10 e e = -2
Aqui:
d = 102 = 5
Como a excentricidade não pode ser negativa, isso indica que provavelmente houve um erro na interpretação. Na verdade, y = -de = -52 é o valor absoluto da coeficiente. Então, .
Então:
A excentricidade maior que 1 indica que a cônica é uma hipérbole.
A diretriz, com o termo , será horizontal. A equação da diretriz é:

Resposta

a)
  • Excentricidade:
  • Cônica: Parábola
  • Diretriz:
b)
  • Excentricidade:
  • Cônica: Hipérbole
  • Diretriz:
c)
  • Excentricidade:
  • Cônica: Hipérbole
  • Diretriz:
d)
  • Excentricidade:
  • Cônica: Hipérbole
  • Diretriz:

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