A equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Ache a excentricidade, identifique a cônica, escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre equações de cônicas que têm um foco na origem. Nosso objetivo é encontrar a excentricidade de cada uma dessas cônicas, identificar qual tipo de cônica é (parábola, elipse ou hipérbole) e escrever a equação da diretriz correspondente ao foco na origem. Para isso, vamos precisar entender como as equações das cônicas se apresentam em coordenadas polares e como identificar os parâmetros importantes delas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
a)
Primeiro, identificamos a forma geral da equação da cônica em coordenadas polares com foco na origem:
onde:
-
é a excentricidade, -
é a distância da diretriz ao foco.
Comparando com a equação dada:
Podemos ver que:
Então:
A excentricidade
indica que a cônica é uma parábola.
Agora, para encontrar a equação da diretriz. Sabemos que para uma parábola com foco na origem e equação
, a diretriz está relacionada ao ângulo dado. No caso, como o termo é
, a diretriz é horizontal.
A equação da diretriz é:
Passo 3
Vamos para a segunda equação:
b)
Novamente, usando a forma geral:
Compare com a equação dada:
Aqui:
Então:
A excentricidade
maior que 1 indica que a cônica é uma hipérbole.
A diretriz para essa hipérbole, como o termo é
, será vertical. A equação da diretriz é:
Passo 4
Agora, a terceira equação:
c)
Usando a forma geral:
Comparando:
Aqui:
Então:
A excentricidade
maior que 1 indica que a cônica é uma hipérbole.
A diretriz, como o termo é
, será vertical. A equação da diretriz é:
Passo 5
Finalmente, a quarta equação:
d)
Usando a forma geral:
Comparando:
Aqui:
Como a excentricidade não pode ser negativa, isso indica que provavelmente houve um erro na interpretação. Na verdade,
é o valor absoluto da coeficiente. Então,
.
Então:
A excentricidade
maior que 1 indica que a cônica é uma hipérbole.
A diretriz, com o termo
, será horizontal. A equação da diretriz é:
Resposta
a)
- Excentricidade:
- Cônica: Parábola
- Diretriz:
b)
- Excentricidade:
- Cônica: Hipérbole
- Diretriz:
c)
- Excentricidade:
- Cônica: Hipérbole
- Diretriz:
d)
- Excentricidade:
- Cônica: Hipérbole
- Diretriz:
Exercícios relacionados
Ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes horizontais e verticais.