Determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes horizontais e verticais.
ll a) r=4+3 sen theta & b) r=4-2 cos theta c) r^2=4 sen 2 theta & d) r^2=9 cos 2 theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos nas curvas dadas onde as retas tangentes são horizontais e verticais. Estamos trabalhando com coordenadas polares, então vamos precisar entender como derivar essas funções para encontrar essas retas tangentes. Vamos abordar cada uma das partes (a, b, c, d) separadamente para facilitar.

Passo 2

Parte a) x = r cos theta e y = r sin theta
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar retas tangentes horizontais e verticais em coordenadas polares, usamos as fórmulas das derivadas paramétricas:
  • A reta tangente é horizontal quando .
  • A reta tangente é vertical quando .
Onde:
Vamos calcular e para essa função.

Passo 3

Primeiro, calculamos drdtheta = 3 cos theta :
dxdtheta = ddtheta (r cos theta) = drdtheta cos theta - r sin theta = 3 cos^2 theta - (4 + 3 sin theta) sin theta
Agora, derivamos dydtheta = ddtheta (r sin theta) = drdtheta sin theta + r cos theta = 3 cos theta sin theta + (4 + 3 sin theta) cos theta e dxdtheta = 3 cos^2 theta - 4 sin theta - 3 sin^2 theta :
dydtheta = 3 cos theta sin theta + 4 cos theta + 3 sin theta cos theta = 6 cos theta sin theta + 4 cos theta
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar as retas tangentes horizontais, igualamos 6 cos theta sin theta + 4 cos theta = 0 :
cos theta (6 sin theta + 4) = 0
3 cos^2 theta - 4 sin theta - 3 sin^2 theta = 0
Isso nos dá duas equações:
  1. 3 (cos^2 theta - sin^2 theta) - 4 sin theta = 0
  2. 3 cos 2theta - 4 sin theta = 0
Agora, para as retas verticais, igualamos :
Podemos reescrever:
Usando a identidade :
Essa equação pode ser resolvida numericamente para encontrar os valores de .

Passo 5

Resposta da Parte a):
As retas tangentes horizontais ocorrem nos pontos onde e (quando ) e onde .
As retas tangentes verticais ocorrem nos pontos que satisfazem a equação , que pode ser resolvida numericamente para encontrar os valores exatos de .

Resposta

A curva possui retas tangentes horizontais nos pontos onde , e . As retas tangentes verticais ocorrem nos pontos que satisfazem , os quais devem ser encontrados numericamente.

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