Ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas dadas em coordenadas polares e um ponto de intersecção específico. O objetivo é encontrar a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes a essas curvas nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares, derivadas para encontrar as retas tangentes e fórmulas para calcular o ângulo entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas curvas e o ponto de intersecção fornecido:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as retas tangentes a cada curva no ponto de intersecção. Para isso, vamos calcular a derivada de cada curva em coordenadas polares para obter a inclinação da tangente.
A fórmula para a derivada
em coordenadas polares é usada para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Vamos calcular
para cada curva:
Para a Curva 1:
Para a Curva 2:
Passo 5
A inclinação
da reta tangente em coordenadas cartesianas pode ser encontrada usando a fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula para cada curva no ponto
.
Passo 6
Para a Curva 1:
Calculando os valores em
:
Agora, substituindo na fórmula da inclinação:
Para a Curva 2:
Calculando os valores em
:
Substituindo na fórmula da inclinação:
Aqui, a inclinação
é infinita, o que significa que a reta é vertical.
Passo 7
Agora que temos as inclinações das duas retas tangentes, podemos calcular o ângulo entre elas. A inclinação da Curva 1 é 0 (reta horizontal) e a inclinação da Curva 2 é infinita (reta vertical).
Sabemos que uma reta horizontal e uma reta vertical formam um ângulo de 90 graus entre si.
Resposta
O menor ângulo entre as retas tangentes às curvas no ponto de intersecção é de 90 graus.
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eliminando o parametro primeiro.
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