Ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados.
& a) l r = 2 operatorname c o s theta r = 2 operatorname s e n theta ( raiz 2 , pi 4 ) b) l r=3 r=6 sen theta (3, pi6) & c) l r=4 cos theta r=4 cos ^2 theta-3 (-2, 2 pi3) d)l r=-4 sen theta r=4 cos 2 theta

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas dadas em coordenadas polares e um ponto de intersecção específico. O objetivo é encontrar a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes a essas curvas nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares, derivadas para encontrar as retas tangentes e fórmulas para calcular o ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas curvas e o ponto de intersecção fornecido:
& Curva 1: r = 2 cos theta & Curva 2: r = 2 sin theta & Ponto de intersecção: ( raiz2 , pi4 ) çã

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as retas tangentes a cada curva no ponto de intersecção. Para isso, vamos calcular a derivada de cada curva em coordenadas polares para obter a inclinação da tangente.
A fórmula para a derivada em coordenadas polares é usada para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Vamos calcular drdtheta = -2 sin theta para cada curva:
Para a Curva 1: drdtheta = 2 cos theta
Para a Curva 2:

Passo 5

A inclinação m = drdtheta sin theta + r cos thetadrdtheta cos theta - r sin theta da reta tangente em coordenadas cartesianas pode ser encontrada usando a fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula para cada curva no ponto .

Passo 6

Para a Curva 1:
Calculando os valores em r = 2 cos ( pi4 ) = 2 times raiz22 = raiz2 :
drdtheta = -2 sin ( pi4 ) = -2 times raiz22 = -raiz2
m1 = (-raiz2) times raiz22 + raiz2 times raiz22(-raiz2) times raiz22 - raiz2 times raiz22 = -1 + 1-1 - 1 = 0-2 = 0
Agora, substituindo na fórmula da inclinação:
r = 2 sin ( pi4 ) = 2 times raiz22 = raiz2
Para a Curva 2:
Calculando os valores em drdtheta = 2 cos ( pi4 ) = 2 times raiz22 = raiz2 :
m2 = raiz2 times raiz22 + raiz2 times raiz22raiz2 times raiz22 - raiz2 times raiz22 = 1 + 11 - 1 = 20
Substituindo na fórmula da inclinação:
Aqui, a inclinação é infinita, o que significa que a reta é vertical.

Passo 7

Agora que temos as inclinações das duas retas tangentes, podemos calcular o ângulo entre elas. A inclinação da Curva 1 é 0 (reta horizontal) e a inclinação da Curva 2 é infinita (reta vertical).
Sabemos que uma reta horizontal e uma reta vertical formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

O menor ângulo entre as retas tangentes às curvas no ponto de intersecção é de 90 graus.

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