Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar . Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é super útil para curvas definidas dessa maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma região limitada por uma curva polar :
Aqui, e são os limites de integração que correspondem ao intervalo de que percorre toda a curva.
Passo 3
No nosso caso, a equação é . Queremos encontrar a área correspondente a variando de a para cobrir toda a curva uma vez. Então, nossos limites são e .
Passo 4
Vamos substituir na fórmula da área:
Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Para o terceiro termo, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
A área da região limitada pelo gráfico da equação é unidades quadradas.