Suponha que a função diferenciável z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação
x y^2+x y z+e^2 z=0
Assinale o que está correto:
Escolha uma ou mais:
partial zpartial y=-y^2x z+e^2 z
partial zpartial x=y^2+y z
partial zpartial x=-y^2-y zy x+2 e^2 z
partial zpartial y=-e^2 zy^2+x z
partial z--x+y x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou fala sobre encontrar derivadas parciais de uma função que está definida de forma implícita pela equação . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas implícitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser definida implicitamente. Isso quer dizer que não está isolada de um lado da equação, mas está misturada com e . Para encontrar as derivadas parciais e , vamos diferenciar a equação dada em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação partialpartial x(x y^2) + partialpartial x(x y z) + partialpartial x(e^2 z) = 0 em relação a y^2 + y z + x y partial zpartial x + 2 e^2 z partial zpartial x = 0 . Lembrando que é função de e , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar (x y + 2 e^2 z) partial zpartial x = - (y^2 + y z) :
partial zpartial x = - (y^2 + y z) x y + 2 e^2 z
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar a mesma equação em relação a partialpartial y(x y^2) + partialpartial y(x y z) + partialpartial y(e^2 z) = 0 :
2 x y + x z + x y partial zpartial y + 2 e^2 z partial zpartial y = 0
Calculando cada termo:
Então, temos:

Passo 6

Isolando (x y + 2 e^2 z) partial zpartial y = - (2 x y + x z) :
partial zpartial y = - (2 x y + x z) x y + 2 e^2 z
Portanto:

Resposta

Das opções apresentadas, as expressões corretas para as derivadas parciais são:

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