Considere a função definida por
Seja , julgue as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.
I. O máximo absoluto de é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no conjunto , que é o disco unitário . Nosso objetivo aqui é verificar se a afirmação de que o máximo absoluto de nesse domínio é está correta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar máximos e mínimos de funções em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro do domínio . Pontos críticos são onde as derivadas parciais de em relação a e são zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio .
Substituindo e na inequação do domínio:
Sim, o ponto está dentro de .

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Portanto, em , vale .

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento da função na fronteira do domínio, ou seja, quando . Para isso, vamos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Substituindo esses valores em :
Simplificando usando a identidade :

Passo 6

Para encontrar os máximos e mínimos de na fronteira, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Isso nos dá:

Passo 7

Vamos calcular nesses ângulos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Comparando os valores:
  • No ponto crítico interno:
  • Na fronteira:
    • :
    • :
    • e :
O maior valor entre esses é , que ocorre em , ou seja, no ponto .

Resposta

A afirmação de que o máximo absoluto de é está incorreta. O máximo absoluto de no domínio é .

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Suponha que a função diferenciável é definida implicitamente pela equação
Assinale o que está correto:
Escolha uma ou mais:




Calcule cada integral.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.