Considere a função
definida por
Seja
, julgue as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.
I. O máximo absoluto de
é
.
I. O máximo absoluto de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida no conjunto
, que é o disco unitário
. Nosso objetivo aqui é verificar se a afirmação de que o máximo absoluto de
nesse domínio é
está correta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar máximos e mínimos de funções em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função
dentro do domínio
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio
.
Substituindo
e
na inequação do domínio:
Sim, o ponto
está dentro de
.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Portanto, em
,
vale
.
Passo 5
Agora, precisamos analisar o comportamento da função
na fronteira do domínio, ou seja, quando
. Para isso, vamos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Substituindo esses valores em
:
Simplificando usando a identidade
:
Passo 6
Para encontrar os máximos e mínimos de
na fronteira, vamos derivar em relação a
e igualar a zero:
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Isso nos dá:
Passo 7
Vamos calcular
nesses ângulos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Comparando os valores:
- No ponto crítico interno:
- Na fronteira:
-
: -
: -
e :
-
O maior valor entre esses é
, que ocorre em
, ou seja, no ponto
.
Resposta
A afirmação de que o máximo absoluto de
é
está incorreta. O máximo absoluto de
no domínio
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que a função diferenciável
é definida implicitamente pela equação
Assinale o que está correto:
Escolha uma ou mais:
Escolha uma ou mais:
Calcule cada integral.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.
Ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.