Ache a área sob a curva no intervalo dado:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Precisamos encontrar a área sob a curva da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área sob a curva. Imagine que a curva desenha uma linha no gráfico. A área que queremos é a região entre essa linha, o eixo e os pontos e . Para calcular essa área, usamos a integral definida, que nos dá o valor dessa região específica.

Passo 3

A integral definida de uma função de a é representada por:
No nosso caso, , e . Então, a integral que precisamos calcular é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . A antiderivada de é . Isso significa que:
Como estamos trabalhando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante .

Passo 5

Aplicamos os limites de integração e na antiderivada:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Agora, calculamos o valor numérico usando uma calculadora:

Resposta

A área sob a curva no intervalo de a é aproximadamente unidades quadradas.

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Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .
Atividade 2. Calcule:
d) ;
Encontrar uma função tal que e .