Atividade 1. Calcule:
f) integral cotg(x) d x.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular a integral da função cotg(x) em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é a cotangente e qual é a sua integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente de x, escrita como cot(x) ou cotg(x), é igual ao cosseno de x dividido pelo seno de x, ou seja:
cot(x) = cos(x)sin(x)
Isso é útil porque nos ajuda a reescrever a função de uma forma que facilita a integração.

Passo 3

Agora, queremos calcular a integral de cot(x) em relação a x:
integral cot(x) , dx
Substituindo a definição de cotangente, temos:
integral cos(x)sin(x) , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = sin(x). Assim, a derivada de u em relação a x é:
dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
Isso significa que cos(x) , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 5

Substituindo u e du na integral, ficamos com:
integral 1u , du
Essa é uma integral básica que conhecemos.

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u mais a constante de integração:
ln|u| + C

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição u = sin(x), agora voltamos para a variável original:
ln|sin(x)| + C

Resposta

A integral de cotg(x) , dx é:
ln|sin(x)| + C

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