Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dela. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
. Lembre-se que quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
, pela regra da cadeia. Aqui,
, então a derivada em relação a
é:
Usei a identidade
para simplificar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter
:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para obter
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
;
Resolva a integral usando o metodo adequado:
;
Ache a área sob a curva
no intervalo dado:
.