Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .

Passo 1

Beleza! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dela. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é , pela regra da cadeia. Aqui, , então a derivada em relação a é:
Usei a identidade para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter :

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a :

Passo 6

Finalmente, vamos derivar em relação a para obter :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
;
Resolva a integral usando o metodo adequado:
;
Ache a área sob a curva no intervalo dado:
.