Encontrar uma função
tal que
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função
que satisfaça a equação
e que, além disso, tenha o valor
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais de primeira ordem, que envolvem encontrar uma função cuja derivada está relacionada a ela mesma de alguma maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Aqui, estamos isolando a derivada de
, que é
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integração da derivada
em relação a
nos dá
.
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
A integral de
é
, e adicionamos a constante de integração
porque a antiderivada de uma função não é única.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A função que satisfaz as condições da questão é:
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Atividade 2. Calcule:
d) ;
d)
Ache a área sob a curva
no intervalo dado:
.
Sabendo que
e
, ache
.
Atividade 4. Calcule:
e) ;
e)