Encontrar uma função tal que e .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma função que satisfaça a equação e que, além disso, tenha o valor . Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais de primeira ordem, que envolvem encontrar uma função cuja derivada está relacionada a ela mesma de alguma maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Aqui, estamos isolando a derivada de , que é .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integração da derivada em relação a nos dá .

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
A integral de é , e adicionamos a constante de integração porque a antiderivada de uma função não é única.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Resolvendo para :

Resposta

A função que satisfaz as condições da questão é:

Exercícios relacionados

Atividade 2. Calcule:
d) ;
Ache a área sob a curva no intervalo dado:
.
Sabendo que e , ache .
Atividade 4. Calcule:
e) ;