Ache a área da superfície que é delimitada no cilindro x^2 + y^2 = 25 pelos planos x=0, x=1, z=1 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de uma parte de um cilindro definido pela equação , que está limitada pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de áreas de superfícies em coordenadas cartesianas. Vamos precisar parametrizar o cilindro e calcular uma integral dupla para achar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse é um cilindro circular com raio (já que ) que se estende infinitamente ao longo do eixo . Agora, queremos a área dessa superfície entre e , e entre e .

Passo 3

Para calcular a área, vamos parametrizar o cilindro. Podemos resolver a equação do cilindro para :
Como o cilindro é simétrico em relação ao eixo , vamos considerar apenas a parte onde para facilitar.

Passo 4

A parametrização da superfície do cilindro pode ser feita usando e como parâmetros. Então, temos:
Aqui, varia de a , e varia de a .

Passo 5

Para encontrar a área da superfície, precisamos calcular o determinante do produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a e . Ou seja:
Á
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 6

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 7

Agora, vamos fazer o produto vetorial dessas duas derivadas:

Passo 8

O módulo desse vetor nos dá o fator que usamos na integral da área:

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral da área:
Á
Como a expressão não depende de , podemos separar as integrais:
Á

Passo 10

Calculando a integral em :
E a integral em :
Fazendo uma substituição , a integral se simplifica para avaliada de a :

Passo 11

Então, a área total é:
Á

Resposta

A área da superfície delimitada é unidades de área.

Exercícios relacionados