Ache a área da superfície que é delimitada no cilindro pelos planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de uma parte de um cilindro definido pela equação , que está limitada pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de áreas de superfícies em coordenadas cartesianas. Vamos precisar parametrizar o cilindro e calcular uma integral dupla para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse é um cilindro circular com raio (já que ) que se estende infinitamente ao longo do eixo . Agora, queremos a área dessa superfície entre e , e entre e .
Passo 3
Para calcular a área, vamos parametrizar o cilindro. Podemos resolver a equação do cilindro para :
Como o cilindro é simétrico em relação ao eixo , vamos considerar apenas a parte onde para facilitar.
Passo 4
A parametrização da superfície do cilindro pode ser feita usando e como parâmetros. Então, temos:
Aqui, varia de a , e varia de a .
Passo 5
Para encontrar a área da superfície, precisamos calcular o determinante do produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 6
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Passo 7
Agora, vamos fazer o produto vetorial dessas duas derivadas:
Passo 8
O módulo desse vetor nos dá o fator que usamos na integral da área:
Passo 9
Agora, substituímos esse resultado na integral da área:
Á
Como a expressão não depende de , podemos separar as integrais:
Á
Passo 10
Calculando a integral em :
E a integral em :
Fazendo uma substituição , a integral se simplifica para avaliada de a :
Passo 11
Então, a área total é:
Á
Resposta
A área da superfície delimitada é unidades de área.