O segmento de reta da origem ao ponto (
) é girado em torno do eixo
. Ache a área da superfície do cone assim gerado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta que vai da origem até o ponto
e queremos girar esse segmento em torno do eixo
para formar um cone. Nosso objetivo é encontrar a área da superfície desse cone. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente fórmulas relacionadas à área de superfície de um cone.
Passo 2
Quando giramos um segmento de reta em torno do eixo
, formamos um cone. Para encontrar a área da superfície desse cone, precisamos saber duas coisas importantes: o raio da base do cone e a geratriz (ou gerueta), que é a distância do vértice até qualquer ponto da base.
No nosso caso, o raio da base é
, já que ao girar o ponto
em torno do eixo
, a distância perpendicular ao eixo
é
. A geratriz pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras, já que temos um triângulo retângulo formado pelos lados
,
e a hipotenusa que é a geratriz
:
Passo 3
Agora que temos o raio
e a geratriz
, podemos usar a fórmula da área da superfície lateral de um cone:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A área da superfície do cone é
.