Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da curva y = ln(x) de x = 1 até x = 2 em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície que resulta ao girar o arco da curva no intervalo de até em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve cálculo de integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo . A fórmula geral é:
Aqui, é a função que será girada em torno do eixo , é a derivada da função, e e são os limites de integração, que no nosso caso são de 1 a 2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo a derivada na fórmula da área, temos:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituímos essa simplificação de volta na integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Essa integral é padrão e sua solução é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar os limites.

Passo 7

Aplicando os limites de 1 a 2 na expressão que encontramos:
Simplificando os termos:

Passo 8

Finalmente, calculando os valores numéricos:
Fazendo as aproximações:
á

Resposta

A área da superfície de revolução é aproximadamente unidades de área.

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