Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da curva
até
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície que resulta ao girar o arco da curva
no intervalo de
até
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve cálculo de integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo
. A fórmula geral é:
Aqui,
é a função que será girada em torno do eixo
,
é a derivada da função, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são de 1 a 2.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo a derivada na fórmula da área, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituímos essa simplificação de volta na integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Essa integral é padrão e sua solução é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar os limites.
Passo 7
Aplicando os limites de 1 a 2 na expressão que encontramos:
Simplificando os termos:
Passo 8
Finalmente, calculando os valores numéricos:
Fazendo as aproximações:
Resposta
A área da superfície de revolução é aproximadamente
unidades de área.