Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e as expressões das composições das funções
e
. As funções dadas são:
Aqui,
significa todos os números reais exceto zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio de cada função. O domínio é o conjunto de valores que podemos colocar na função sem causar problemas, tipo dividir por zero ou tirar a raiz quadrada de um número negativo.
-
Para
, o denominador não pode ser zero. Então, o domínio de é todos os reais menos zero, ou seja, . -
Para
, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, → . Portanto, o domínio de é .
Passo 3
Agora, vamos achar as composições de
e
:
Lembrando que
, ou seja, aplicamos
primeiro e depois
no resultado.
Passo 4
Vamos começar com
:
Domínio de
:
O que precisamos é que
esteja no domínio de
.
Sabemos que
, e o domínio de
já é
.
Além disso, o denominador de
não pode ser zero:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 5
Agora,
:
Domínio de
:
Para
estar definido,
precisa estar no domínio de
.
Como
e
, precisamos que
.
Então, o domínio é
.
Passo 6
Agora,
:
Domínio de
:
Primeiro,
precisa estar no domínio de
, isto é,
.
Também, dentro da raiz quadrada,
.
Vamos resolver cada condição:
Multiplicando por
(lembrando que o sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de
):
Se
:
Mas como
, essa condição é sempre verdadeira.
Se
:
Multiplicando por
:
Se
:
Como
, está ok.
Se
:
Assim, combinando tudo, o domínio de
é
.
Passo 7
Por último,
:
Domínio de
:
Primeiro,
precisa estar no domínio de
:
Como a raiz quadrada sempre dá valores não negativos e
:
Resolvendo
:
E
Então, o domínio de
é
.
Resposta
As composições das funções
e
são:
-
, com domínio . -
, com domínio . -
, com domínio . -
, com domínio .