Para cada par de funções f, g abaixo encontre o domínio e as expressões de f o g, f o f, g(f) e g(g).
b) f: R* -> R, f(x) = -1/x
g(x) = raiz(2 - x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e as expressões das composições das funções e . As funções dadas são:
Aqui, significa todos os números reais exceto zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio de cada função. O domínio é o conjunto de valores que podemos colocar na função sem causar problemas, tipo dividir por zero ou tirar a raiz quadrada de um número negativo.
  • Para , o denominador não pode ser zero. Então, o domínio de é todos os reais menos zero, ou seja, .
  • Para , o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, . Portanto, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos achar as composições de e :
Lembrando que , ou seja, aplicamos primeiro e depois no resultado.

Passo 4

Vamos começar com :
Domínio de :
O que precisamos é que esteja no domínio de .
Sabemos que , e o domínio de já é .
Além disso, o denominador de não pode ser zero:
Portanto, o domínio de é .

Passo 5

Agora, :
Domínio de :
Para estar definido, precisa estar no domínio de .
Como e , precisamos que .
Então, o domínio é .

Passo 6

Agora, :
Domínio de :
Primeiro, precisa estar no domínio de , isto é, .
Também, dentro da raiz quadrada, .
Vamos resolver cada condição:
Multiplicando por (lembrando que o sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de ):
Se :
Mas como , essa condição é sempre verdadeira.
Se :
Multiplicando por :
Se :
Como , está ok.
Se :
Assim, combinando tudo, o domínio de é .

Passo 7

Por último, :
Domínio de :
Primeiro, precisa estar no domínio de :
Como a raiz quadrada sempre dá valores não negativos e :
Resolvendo :
E
Então, o domínio de é .

Resposta

As composições das funções e são:
  1. , com domínio .
  2. , com domínio .
  3. , com domínio .
  4. , com domínio .

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