Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
. Bom trabalho!
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a área da superfície que é formada quando a curva
no intervalo de
é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de superfícies de revolução e envolver cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma função
ao redor do eixo
:
Aqui,
e
são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 1.
Passo 3
Vamos identificar os dados do problema:
- Função:
- Intervalo:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Resolvendo para
:
Mas como temos
multiplicando na integral original, podemos reescrever a integral em termos de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o valor numérico, substituímos
:
Calculando
:
Agora, substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da superfície gerada é aproximadamente 48,68 unidades quadradas.