Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e^x, 0 <= x <= 1 em torno do eixo x. Bom trabalho!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a área da superfície que é formada quando a curva no intervalo de é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de superfícies de revolução e envolver cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma função ao redor do eixo :
Aqui, e são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 1.

Passo 3

Vamos identificar os dados do problema:
  • Função:
  • Intervalo:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Resolvendo para :
Mas como temos multiplicando na integral original, podemos reescrever a integral em termos de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o valor numérico, substituímos :
Calculando :
Agora, substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da superfície gerada é aproximadamente 48,68 unidades quadradas.

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