Calcule as integrais usando integração por partes com a escolha de u e d v indicada: integral e^-5 t cdot t d t, u=t, d v=e^-5 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, vamos usar as escolhas que foram indicadas: e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar du = dt e v = integral e^-5 t , dt . Se v = -15 e^-5 t , então derivando em relação a , temos:
Agora, para encontrar , integramos :
A integral de é , então:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral t cdot e^-5 t , dt = t cdot (-15 e^-5 t) - integral (-15 e^-5 t) , dt
Simplificando:
= -15 t e^-5 t + 15 integral e^-5 t , dt

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
integral e^-5 t , dt = -15 e^-5 t + C
Então, substituindo de volta:
- 15 t e^-5 t + 15 (-15 e^-5 t) + C
Simplificando mais:
- 15 t e^-5 t - 125 e^-5 t + C

Resposta

A integral - 15 t e^-5 t - 125 e^-5 t + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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