A produçõ
de uma pequena serraria varia conforme o modelo
, com
medido cm horas. Calcule
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve como a produção
de uma serraria varia ao longo do tempo
. O enunciado nos dá a derivada de
em relação a
:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
quando
horas. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é basicamente o processo inverso da derivada. Se sabemos como a produção muda ao longo do tempo (a derivada), podemos integrar essa função para descobrir a produção total até um determinado momento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar
, precisamos integrar a função
de
até
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir uma nova variável
de forma que simplifique a integral:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Queremos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Precisamos calcular os novos limites de integração:
- Quando
:
- Quando
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Multiplicando pelo 1000:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração:
Vamos calcular cada termo separadamente:
-
:
-
:
Substituindo de volta: