A produçõ P de uma pequena serraria varia conforme o modelo dP/dt = 2 t * (0,001 t^2 + 0,5)^(1/4), 0 <= t <= 40, com t medido cm horas. Calcule P para t = 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve como a produção de uma serraria varia ao longo do tempo . O enunciado nos dá a derivada de em relação a :
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de quando horas. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é basicamente o processo inverso da derivada. Se sabemos como a produção muda ao longo do tempo (a derivada), podemos integrar essa função para descobrir a produção total até um determinado momento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar , precisamos integrar a função de até . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir uma nova variável de forma que simplifique a integral:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo na integral original:
Precisamos calcular os novos limites de integração:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Multiplicando pelo 1000:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. :
  1. :
Substituindo de volta:

Resposta

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