Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de
para os quais a integral
converge e, para esses valores de
, calcular o valor da integral. Aqui, estamos lidando com integrais impróprias e precisamos entender como o comportamento da função integranda afeta a convergência da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral
para determinar para quais valores de
ela converge. A convergência de uma integral imprópria depende do comportamento da função integranda quando
tende a infinito.
Passo 3
Para entender o comportamento da função
quando
tende a infinito, vamos fazer uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir
, então:
Substituindo na integral original:
Passo 4
Agora, temos a integral:
Queremos verificar para quais valores de
essa integral converge. Observamos que
cresce exponencialmente rápido, enquanto
cresce polinomialmente. A função exponencial domina o crescimento, o que sugere que a integral pode divergir.
Passo 5
Para confirmar essa suspeita, podemos comparar com uma integral conhecida. Sabemos que:
converge se, e somente se,
. No nosso caso, temos
, que é positivo. Portanto, a integral
diverge para qualquer valor de
.
Resposta
A integral
diverge para todo valor real de
. Ou seja, não existe nenhum valor de
para o qual a integral converge.