Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de p. integrale^infty x(ln (x))^p d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de integrale^infty x(ln (x))^p , dx para os quais a integral
converge e, para esses valores de , calcular o valor da integral. Aqui, estamos lidando com integrais impróprias e precisamos entender como o comportamento da função integranda afeta a convergência da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral
integrale^infty x(ln (x))^p , dx
para determinar para quais valores de ela converge. A convergência de uma integral imprópria depende do comportamento da função integranda quando tende a infinito.

Passo 3

Para entender o comportamento da função du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du = e^u , du quando integrale^infty x(ln (x))^p , dx = integral1^infty e^u cdot u^p cdot e^u , du = integral1^infty e^2u u^p , du tende a infinito, vamos fazer uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir , então:
Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, temos a integral:
integral1^infty e^2u u^p , du
Queremos verificar para quais valores de essa integral converge. Observamos que cresce exponencialmente rápido, enquanto cresce polinomialmente. A função exponencial domina o crescimento, o que sugere que a integral pode divergir.

Passo 5

Para confirmar essa suspeita, podemos comparar com uma integral conhecida. Sabemos que:
integral1^infty e^ku , du
converge se, e somente se, integral1^infty e^2u u^p , du . No nosso caso, temos , que é positivo. Portanto, a integral
diverge para qualquer valor de .

Resposta

A integral
integrale^infty x(ln (x))^p , dx
diverge para todo valor real de . Ou seja, não existe nenhum valor de para o qual a integral converge.

Exercícios relacionados