Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície , para e d é o hemisfério acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é o hemisfério da esfera que fica acima do plano . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a superfície . A equação representa uma esfera de raio centrada na origem. Como estamos falando do hemisfério acima do plano , isso significa que .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui, é o raio (que nesse caso é ), é o ângulo polar (colocado a partir do eixo ), e é o ângulo azimutal no plano .
Passo 4
A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
integral duplaS G , dS = integral duplaS z , dS = integral duplaS rho cosphi cdot rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Aqui, é o elemento de área na esfera.
Passo 5
Substituindo integral duplaS z , dS = integral0^2pi integral0^pi2 (2 cosphi) cdot (2)^2 sinphi , dphi , dtheta na equação, temos: