Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície integral duplaS G d s, para G e S d
G(x, y, z)=z ; S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4 acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é o hemisfério da esfera que fica acima do plano . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a superfície . A equação representa uma esfera de raio centrada na origem. Como estamos falando do hemisfério acima do plano , isso significa que .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Aqui, é o raio (que nesse caso é ), é o ângulo polar (colocado a partir do eixo ), e é o ângulo azimutal no plano .

Passo 4

A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
integral duplaS G , dS = integral duplaS z , dS = integral duplaS rho cosphi cdot rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Aqui, é o elemento de área na esfera.

Passo 5

Substituindo integral duplaS z , dS = integral0^2pi integral0^pi2 (2 cosphi) cdot (2)^2 sinphi , dphi , dtheta na equação, temos:
= 8 integral0^2pi integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi , dtheta
Simplificando os constantes:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna com respeito a integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi :
integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi = integral0^1 u , du = u^22 |0^1 = 12
Podemos usar uma substituição simples: deixe , então . Assim:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral original:
8 integral0^2pi 12 , dtheta = 4 integral0^2pi dtheta = 4 cdot 2pi = 8pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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