Ache a área das superfícies:
Encontre a área da elipse cortada pelo plano
e o cilindro
.
Encontre a área da elipse cortada pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da elipse que é formada quando o plano
corta o cilindro
. Esse problema está relacionado a geometria analítica e superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas da área da elipse e como identificar os eixos dessa elipse a partir das equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o plano
corta o cilindro
. O cilindro dado é um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo z. O plano inclinado
cria uma interseção que resulta em uma elipse.
Passo 3
Para encontrar a área dessa elipse, precisamos identificar seus eixos maiores e menores. Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 4
Vamos identificar
e
. No cilindro
, o raio é 1, o que significa que o semi-eixo maior
.
Passo 5
Para encontrar o semi-eixo menor
, observamos a inclinação do plano. A inclinação é dada por
na equação
. A relação entre o semi-eixo menor e a inclinação é:
Isso porque a inclinação do plano reduz o comprimento do eixo na direção z.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da área da elipse:
Resposta
A área da elipse é
.
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e
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, limitado pelas retas :
e
.
Encontre a área da porção do cilindro
Ache a área das superfícies:
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1 e
Encontre a área da faixa esférica
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre o cilindro parabólico
.