Ache a área das superfícies:
Encontre a área da elipse cortada pelo plano e o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da elipse que é formada quando o plano corta o cilindro . Esse problema está relacionado a geometria analítica e superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas da área da elipse e como identificar os eixos dessa elipse a partir das equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o plano corta o cilindro . O cilindro dado é um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo z. O plano inclinado cria uma interseção que resulta em uma elipse.

Passo 3

Para encontrar a área dessa elipse, precisamos identificar seus eixos maiores e menores. Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Á
onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 4

Vamos identificar e . No cilindro , o raio é 1, o que significa que o semi-eixo maior .

Passo 5

Para encontrar o semi-eixo menor , observamos a inclinação do plano. A inclinação é dada por na equação . A relação entre o semi-eixo menor e a inclinação é:
Isso porque a inclinação do plano reduz o comprimento do eixo na direção z.

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula da área da elipse:
Á

Resposta

A área da elipse é .

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sobre o cilindro parabólico .