Ache a área das superfícies:
Encontre a área do parabolóide
limitado pelo plano
e
Encontre a área do parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do parabolóide dado pela equação
, que está limitada pelos planos
e
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. O parabolóide
é uma superfície que se abre para cima. Os planos
e
vão cortar essa superfície, criando uma “fatia” que vamos calcular a área.
Passo 3
Para calcular a área da superfície
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a região no plano
que corresponde à parte da superfície entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Agora, substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a região
. A superfície é limitada por
e
. Quando
:
Então,
é o círculo de raio
no plano
. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares:
O diferencial de área
vira
em coordenadas polares.
Passo 6
Agora, expressamos a integral em coordenadas polares:
Vamos primeiro resolver a integral em
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Agora, voltamos à integral em
:
Resposta
A área da superfície é
.
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, limitado pelas retas :
e
.
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e
.
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.
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1 e
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