Ache a área das superfícies:
Encontre a área do parabolóide z = 2*x^2 + 2*y^2 limitado pelo plano z = 4 e z = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do parabolóide dado pela equação , que está limitada pelos planos e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. O parabolóide é uma superfície que se abre para cima. Os planos e vão cortar essa superfície, criando uma “fatia” que vamos calcular a área.

Passo 3

Para calcular a área da superfície , usamos a fórmula:
Aqui, é a região no plano que corresponde à parte da superfície entre e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Agora, substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Vamos simplificar a região . A superfície é limitada por e . Quando :
Então, é o círculo de raio no plano . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares:
O diferencial de área vira em coordenadas polares.

Passo 6

Agora, expressamos a integral em coordenadas polares:
Vamos primeiro resolver a integral em :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Agora, voltamos à integral em :

Resposta

A área da superfície é .

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