Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre o cilindro parabólico
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de uma função escalar
sobre a superfície de um cilindro parabólico definido por
, onde
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e como parametrizar a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro parabólico. Como
e
varia de 0 a 3, podemos usar
e
como parâmetros. Assim, a parametrização fica:
Onde
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a 3.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
da superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
O produto vetorial dessas derivadas nos dá um vetor normal à superfície:
A magnitude desse vetor é:
Portanto, o elemento de área é:
Passo 4
A integral da função escalar
sobre a superfície é dada por:
Perceba que a função integranda não depende de
, então a integral em
é simples:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos usar a substituição
. Então:
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Avaliado de 0 a 2:
Resposta
A integral da função
sobre o cilindro parabólico é:
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Ache a área das superfícies:
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1 e
Encontre a área da faixa esférica
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da elipse cortada pelo plano e o cilindro
.
Encontre a área da elipse cortada pelo plano
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica
e
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera
.