Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre o cilindro parabólico .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de uma função escalar sobre a superfície de um cilindro parabólico definido por , onde e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e como parametrizar a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro parabólico. Como e varia de 0 a 3, podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização fica:
Onde varia de 0 a 2 e varia de 0 a 3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área da superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
O produto vetorial dessas derivadas nos dá um vetor normal à superfície:
A magnitude desse vetor é:
Portanto, o elemento de área é:

Passo 4

A integral da função escalar sobre a superfície é dada por:
Perceba que a função integranda não depende de , então a integral em é simples:
Assim, a integral fica:

Passo 5

Para resolver a integral , vamos usar a substituição . Então:
Substituindo na integral:
Voltando para :
Avaliado de 0 a 2:

Resposta

A integral da função sobre o cilindro parabólico é:

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Ache a área das superfícies:
Encontre a área da faixa esférica entre os planos 1 e
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da elipse cortada pelo plano e o cilindro .
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica e
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera .