Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cilindro
que está acima do triângulo no plano
, limitado pelas retas :
e
.
Encontre a área da porção do cilindro
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da parte do cilindro definido pela equação
que está acima de um triângulo no plano XY. Esse triângulo é delimitado pelas retas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies utilizando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro para facilitar o entendimento. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso mostra que a altura
depende do valor de
de forma quadrática, e o cilindro é paralelo ao eixo Y, já que a equação não envolve
.
Passo 3
Agora, vamos definir a região no plano XY sobre a qual vamos calcular a área. As retas
,
e
formam um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Esse será o limite inferior da nossa superfície no cilindro.
Passo 4
Para calcular a área da superfície do cilindro acima desse triângulo, usamos a fórmula da área de uma superfície
:
No nosso caso,
, então:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração para a região
, que é o triângulo no plano XY. Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Assim, a integral dupla fica:
Passo 6
Resolvendo a integral interna em
:
Portanto, a área fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Podemos dividir essa integral em duas partes:
Passo 8
Calculando cada parte:
- Primeira integral:
- Segunda integral (usando substituição
):
Passo 9
Substituindo os resultados nas integrais definidas:
Calculando nos limites
e
:
-
Para
: -
Para
:
Assim, a área
é:
Passo 10
Simplificando os termos e calculando numericamente:
Resposta
A área da superfície da porção do cilindro é aproximadamente 0,538 unidades quadradas.
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e
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