Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cilindro que está acima do triângulo no plano , limitado pelas retas : e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da parte do cilindro definido pela equação que está acima de um triângulo no plano XY. Esse triângulo é delimitado pelas retas , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies utilizando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro para facilitar o entendimento. A equação pode ser rearranjada para . Isso mostra que a altura depende do valor de de forma quadrática, e o cilindro é paralelo ao eixo Y, já que a equação não envolve .

Passo 3

Agora, vamos definir a região no plano XY sobre a qual vamos calcular a área. As retas , e formam um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Esse será o limite inferior da nossa superfície no cilindro.

Passo 4

Para calcular a área da superfície do cilindro acima desse triângulo, usamos a fórmula da área de uma superfície :
No nosso caso, , então:
Substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração para a região , que é o triângulo no plano XY. Para cada valor de entre 0 e 1, varia de 0 até . Assim, a integral dupla fica:

Passo 6

Resolvendo a integral interna em :
Portanto, a área fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Podemos dividir essa integral em duas partes:

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral (usando substituição ):

Passo 9

Substituindo os resultados nas integrais definidas:
Calculando nos limites e :
  • Para :
  • Para :
Assim, a área é:

Passo 10

Simplificando os termos e calculando numericamente:

Resposta

A área da superfície da porção do cilindro é aproximadamente 0,538 unidades quadradas.

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