Ache a área das superfícies:
Encontre a área da faixa esférica entre os planos 1 e

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria espacial onde precisamos encontrar a área de uma parte específica de uma esfera. A esfera é dada pela equação , que tem raio 2. A gente precisa achar a área dessa superfície esférica que está entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicado à geometria das esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. A esfera tem raio 2, então seu centro está na origem. Os planos e cortam a esfera formando duas “fatias”. Queremos a área da parte da esfera que fica entre esses dois cortes.

Passo 3

Para encontrar a área da superfície esférica entre dois planos paralelos, podemos usar a fórmula da área da superfície esférica entre dois ângulos polares. Mas como os planos não são paralelos em termos de latitude esférica, vamos ajustar a abordagem.

Passo 4

Vamos utilizar coordenadas esféricas para facilitar. Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto na esfera é dada por (ângulo polar) e (ângulo azimutal). A área diferencial em coordenadas esféricas é .

Passo 5

Como a esfera tem raio , substituímos na fórmula: .

Passo 6

Precisamos determinar os limites de integração para e . O ângulo varia de a para cobrir toda a volta ao redor da esfera. O ângulo corresponde à posição vertical na esfera. Vamos encontrar os valores de que correspondem aos planos e .

Passo 7

Na esfera, . Então:
  • Para : .
  • Para : .

Passo 8

Agora, configuramos a integral para a área:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a ):
Sabemos que e , então:

Passo 10

Agora, integremos em relação a :

Resposta

A área da faixa esférica entre os planos e é unidades de área.

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