Ache a área das superfícies:
Encontre a área da faixa esférica
entre os planos
1 e
Encontre a área da faixa esférica
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria espacial onde precisamos encontrar a área de uma parte específica de uma esfera. A esfera é dada pela equação
, que tem raio 2. A gente precisa achar a área dessa superfície esférica que está entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicado à geometria das esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. A esfera tem raio 2, então seu centro está na origem. Os planos
e
cortam a esfera formando duas “fatias”. Queremos a área da parte da esfera que fica entre esses dois cortes.
Passo 3
Para encontrar a área da superfície esférica entre dois planos paralelos, podemos usar a fórmula da área da superfície esférica entre dois ângulos polares. Mas como os planos não são paralelos em termos de latitude esférica, vamos ajustar a abordagem.
Passo 4
Vamos utilizar coordenadas esféricas para facilitar. Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto na esfera é dada por
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). A área diferencial em coordenadas esféricas é
.
Passo 5
Como a esfera tem raio
, substituímos na fórmula:
.
Passo 6
Precisamos determinar os limites de integração para
e
. O ângulo
varia de
a
para cobrir toda a volta ao redor da esfera. O ângulo
corresponde à posição vertical na esfera. Vamos encontrar os valores de
que correspondem aos planos
e
.
Passo 7
Na esfera,
. Então:
- Para
: → → . - Para
: → → .
Passo 8
Agora, configuramos a integral para a área:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a
):
Sabemos que
e
, então:
Passo 10
Agora, integremos em relação a
:
Resposta
A área da faixa esférica entre os planos
e
é
unidades de área.
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.
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e
Encontre a área do parabolóide
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre o cilindro parabólico
.
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica
e