Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a integral da função escalar sobre uma superfície específica. A superfície em questão é um cilindro definido por com e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de superfície na matéria de Cálculo Multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície sobre a qual vamos integrar. A equação representa um cilindro circular cujo eixo está alinhado com o eixo . O termo significa que vamos considerar apenas a parte do cilindro onde é negativo ou zero. Além disso, define que nosso cilindro se estende do ponto até .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície para facilitar a integração. Como temos um cilindro circular, usamos coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui, varia de a para cobrir a parte de . O parâmetro varia de 1 a 4.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, a integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície é dada por:
Aqui, é o raio do cilindro.

Passo 5

Substituindo e as parametrizações que fizemos:
Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral da função sobre a superfície especificada é igual a 0.

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, sobre a porção do plano acima do quadrado , no plano XY.