Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a integral da função escalar
sobre uma superfície específica. A superfície em questão é um cilindro definido por
com
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de superfície na matéria de Cálculo Multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície sobre a qual vamos integrar. A equação
representa um cilindro circular cujo eixo está alinhado com o eixo
. O termo
significa que vamos considerar apenas a parte do cilindro onde
é negativo ou zero. Além disso,
define que nosso cilindro se estende do ponto
até
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície para facilitar a integração. Como temos um cilindro circular, usamos coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui,
varia de
a
para cobrir a parte de
. O parâmetro
varia de 1 a 4.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, a integral de superfície de uma função escalar
sobre uma superfície
é dada por:
Aqui,
é o raio do cilindro.
Passo 5
Substituindo
e as parametrizações que fizemos:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral da função
sobre a superfície especificada é igual a 0.
Exercícios relacionados
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre o cilindro parabólico
.
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da faixa esférica entre os planos
1 e
Encontre a área da faixa esférica
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera
.
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
, sobre a porção do plano
acima do quadrado ,
no plano XY.