Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cone entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do cone definido por que está entre os planos e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo diferencial, especificamente a fórmula para a área de uma superfície paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o cone representa. Esse é um cone circular reto que se abre para cima, onde para cada ponto no cone, a coordenada é igual à distância do ponto ao eixo .

Passo 3

Queremos achar a área desse cone entre e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são mais fáceis para cones. Em coordenadas cilíndricas, temos:
No nosso caso, como , isso fica:

Passo 4

A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas é:
No nosso caso, , então:
Então a expressão dentro da raiz vira:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para a área:
Aqui, varia de 2 a 6 porque e vai de 2 a 6. varia de 0 a porque estamos cobrindo toda a volta do cone.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa:

Resposta

A área da porção do cone entre os planos e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do parabolóide entre os planos e .
Determine as derivadas parciais indicadas:
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cilindro que está acima do triângulo no plano , limitado pelas retas : e .
Ache a área das superfícies:
Encontre a área do parabolóide limitado pelo plano e