Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cone
entre os planos
e
.
Encontre a área da porção do cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do cone definido por
que está entre os planos
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo diferencial, especificamente a fórmula para a área de uma superfície paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o cone
representa. Esse é um cone circular reto que se abre para cima, onde para cada ponto no cone, a coordenada
é igual à distância do ponto ao eixo
.
Passo 3
Queremos achar a área desse cone entre
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são mais fáceis para cones. Em coordenadas cilíndricas, temos:
No nosso caso, como
, isso fica:
Passo 4
A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas é:
No nosso caso,
, então:
Então a expressão dentro da raiz vira:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para a área:
Aqui,
varia de 2 a 6 porque
e
vai de 2 a 6.
varia de 0 a
porque estamos cobrindo toda a volta do cone.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa:
Resposta
A área da porção do cone entre os planos
e
é
unidades de área.
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Encontre a área da porção do parabolóide entre os planos
e
.
Encontre a área da porção do parabolóide
Determine as derivadas parciais indicadas:
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cilindro que está acima do triângulo no plano
, limitado pelas retas :
e
.
Encontre a área da porção do cilindro
Ache a área das superfícies:
Encontre a área do parabolóide limitado pelo plano
e
Encontre a área do parabolóide