Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do parabolóide entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que encontrar a área da parte do parabolóide dado pela equação que está entre os planos e . Isso envolve cálculo de áreas de superfícies usando integração, então vamos precisar entender um pouquinho de cálculo multivariável e coordenadas polares para simplificar a nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide. A equação representa uma superfície parabólica que abre para cima. Para encontrar a área dessa superfície entre dois níveis de (no caso, entre e ), usamos uma fórmula de integração dupla que calcula a área da superfície.

Passo 3

A fórmula geral para a área de uma superfície sobre uma região no plano é:
Á
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos trocar para coordenadas polares, já que o parabolóide é simétrico em relação à origem. Nas coordenadas polares, e , e a equação do parabolóide fica .

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como queremos a área entre e , substituímos na equação :
  • Para :
  • Para :
Então, varia de a , e varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 6

A expressão para a área na coordenada polar é:
Á
Aqui, calculamos as derivadas parciais da função em relação a e , que dão e .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja , então ou .

Passo 8

Substituindo na integral, ficamos com:
Integrando , temos:

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo integral externo em :
Á

Resposta

A área da porção do parabolóide entre os planos e é:
Á

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