Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do parabolóide
entre os planos
e
.
Encontre a área da porção do parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos que encontrar a área da parte do parabolóide dado pela equação
que está entre os planos
e
. Isso envolve cálculo de áreas de superfícies usando integração, então vamos precisar entender um pouquinho de cálculo multivariável e coordenadas polares para simplificar a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide. A equação
representa uma superfície parabólica que abre para cima. Para encontrar a área dessa superfície entre dois níveis de
(no caso, entre
e
), usamos uma fórmula de integração dupla que calcula a área da superfície.
Passo 3
A fórmula geral para a área de uma superfície
sobre uma região
no plano
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos trocar para coordenadas polares, já que o parabolóide é simétrico em relação à origem. Nas coordenadas polares,
e
, e a equação do parabolóide fica
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como queremos a área entre
e
, substituímos na equação
:
- Para
: - Para
:
Então,
varia de
a
, e
varia de
a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 6
A expressão para a área na coordenada polar é:
Aqui, calculamos as derivadas parciais da função
em relação a
e
, que dão
e
.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
ou
.
Passo 8
Substituindo na integral, ficamos com:
Integrando
, temos:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo integral externo em
:
Resposta
A área da porção do parabolóide
entre os planos
e
é:
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Determine as derivadas parciais indicadas:
Determine as derivadas parciais indicadas:
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cone entre os planos
e
.
Encontre a área da porção do cone
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cilindro que está acima do triângulo no plano
, limitado pelas retas :
e
.
Encontre a área da porção do cilindro