Determine as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar derivadas parciais de uma função
. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial de várias variáveis, especificamente com derivadas parciais de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas sucessivas em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Aqui,
depende de duas variáveis,
e
, e queremos encontrar a derivada terceira
. Isso significa que vamos derivar duas vezes em relação a
e, depois, derivar o resultado em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Sabemos que a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos derivar isso em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
(porque
e
):
Resposta
A derivada parcial indicada é
.