Determine as derivadas parciais indicadas: z=ln sen(x-y), partial^3 zpartial y partial^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar derivadas parciais de uma função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial de várias variáveis, especificamente com derivadas parciais de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas sucessivas em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Aqui, depende de duas variáveis, e , e queremos encontrar a derivada terceira . Isso significa que vamos derivar duas vezes em relação a e, depois, derivar o resultado em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial zpartial x = ddx ln(sin(x - y)) em relação a partial zpartial x = 1sin(x - y) cdot cos(x - y) = cot(x - y) :
Usando a regra da cadeia, a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = ddx ( cot(x - y) ) em relação a partial^2 zpartial x^2 = -csc^2(x - y) cdot 1 = -csc^2(x - y) :
Sabemos que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora que temos partial^3 zpartial y partial^2 x = partialpartial y ( -csc^2(x - y) ) , vamos derivar isso em relação a partial^3 zpartial y partial^2 x = -2csc^2(x - y)cot(x - y) :
A derivada de em relação a é (porque e ):

Resposta

A derivada parcial indicada é .

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