Determine as derivadas parciais indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar derivadas parciais de uma função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial de várias variáveis, especificamente com derivadas parciais de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas sucessivas em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Aqui, depende de duas variáveis, e , e queremos encontrar a derivada terceira . Isso significa que vamos derivar duas vezes em relação a e, depois, derivar o resultado em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da cadeia, a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :
Sabemos que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos derivar isso em relação a :
A derivada de em relação a é (porque e ):

Resposta

A derivada parcial indicada é .

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Determine as derivadas parciais indicadas:
Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do parabolóide entre os planos e .
Ache a área das superfícies:
Encontre a área da porção do cone entre os planos e .