Ache a área total entre a curva no intervalo dado.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área total sob a curva definida pela função no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área sob uma curva entre dois pontos é calculada através da integral definida dessa função nesses limites. A integral nos dá o acúmulo de área entre a curva e o eixo .

Passo 3

A função dada é . Vamos configurar a integral definida dessa função de a :
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 5

Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração e :
Á
Á
No entanto, isso indica que a área total considerando a orientação está zero, o que não faz sentido para uma área. Isso ocorre porque a curva cruza o eixo no intervalo dado.

Passo 6

Para encontrar a área total, precisamos considerar os segmentos onde a função está acima e abaixo do eixo . Vamos encontrar as raízes da função :
Então, devemos dividir a integral em dois intervalos: de a e de a .

Passo 7

Calculando a primeira parte da área de a :
Á

Passo 8

Calculando a segunda parte da área de a . Nesse intervalo, a função está negativa, então tomamos o valor absoluto:
Á
Á

Passo 9

Somando as duas áreas:
ÁÁÁ

Resposta

A área total entre a curva no intervalo de a é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas a seguir:
Calcule as integrais definidas a seguir:
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e
Ache a área total entre a curva no intervalo .