Ache a área total entre a curva no intervalo dado.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a área total sob a curva definida pela função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a área sob uma curva entre dois pontos é calculada através da integral definida dessa função nesses limites. A integral nos dá o acúmulo de área entre a curva e o eixo
.
Passo 3
A função dada é
. Vamos configurar a integral definida dessa função de
a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 5
Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração
e
:
No entanto, isso indica que a área total considerando a orientação está zero, o que não faz sentido para uma área. Isso ocorre porque a curva cruza o eixo
no intervalo dado.
Passo 6
Para encontrar a área total, precisamos considerar os segmentos onde a função está acima e abaixo do eixo
. Vamos encontrar as raízes da função
:
Então, devemos dividir a integral em dois intervalos: de
a
e de
a
.
Passo 7
Calculando a primeira parte da área de
a
:
Passo 8
Calculando a segunda parte da área de
a
. Nesse intervalo, a função está negativa, então tomamos o valor absoluto:
Passo 9
Somando as duas áreas:
Resposta
A área total entre a curva
no intervalo de
a
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas a seguir:
Calcule as integrais definidas a seguir:
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e
Ache a área total entre a curva
no intervalo
.