Ache a área total entre a curva
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos encontrar a área total entre a curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos precisar usar noções de cálculo integral, especialmente porque estamos lidando com a área sob uma curva. Primeiramente, vamos identificar onde a curva cruza o eixo
, ou seja, onde
. Isso vai nos ajudar a dividir o intervalo em partes onde a curva está acima ou abaixo do eixo
.
Passo 2
Vamos encontrar as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Isso nos dá duas raízes:
Então, a curva cruza o eixo
nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde a curva cruza o eixo
, vamos dividir o intervalo
em três partes:
- De
até - De
até - De
até
Em cada um desses intervalos, vamos determinar se a curva está acima ou abaixo do eixo
. Isso é importante porque a área abaixo do eixo
será considerada positiva ao usarmos o valor absoluto na integral.
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo:
-
Para
até : Escolhendo: Então, a curva está acima do eixo. -
Para
até : Escolhendo: Então, a curva está abaixo do eixo. -
Para
até : Escolhendo: Então, a curva está acima do eixo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral da função em cada intervalo, lembrando de usar o valor absoluto para garantir que a área seja positiva:
Como nos intervalos
e
a função está acima do eixo
, podemos integrar diretamente. No intervalo
, a função está abaixo, então usamos o valor negativo da integral para tornar a área positiva:
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
- Primeira Integral:
Avaliada de
a
:
- Segunda Integral:
Avaliada de
a
:
Calculando:
- Terceira Integral:
Avaliada de
a
:
Resposta
Somando todas as áreas:
Então, a área total entre a curva
no intervalo
é 101,5 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e
Ache a área total entre a curva no intervalo dado.
Resolva os PVIs:
Um tanque contém 500 litros de cerveja com
de teor alcoólico (em volume). Cerveja com teor alcoólico de
é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
e a mistura é bombeada para fora do tanque à mesma taxa. Qual o teor alcoólico da mistura no tanque após uma hora?