Ache a área total entre a curva no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos encontrar a área total entre a curva no intervalo de até . Para isso, vamos precisar usar noções de cálculo integral, especialmente porque estamos lidando com a área sob uma curva. Primeiramente, vamos identificar onde a curva cruza o eixo , ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a dividir o intervalo em partes onde a curva está acima ou abaixo do eixo .

Passo 2

Vamos encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Isso nos dá duas raízes:
Então, a curva cruza o eixo nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde a curva cruza o eixo , vamos dividir o intervalo em três partes:
  1. De até
  2. De até
  3. De até
Em cada um desses intervalos, vamos determinar se a curva está acima ou abaixo do eixo . Isso é importante porque a área abaixo do eixo será considerada positiva ao usarmos o valor absoluto na integral.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para até :
    Escolhendo :
    Então, a curva está acima do eixo .
  2. Para até :
    Escolhendo :
    Então, a curva está abaixo do eixo .
  3. Para até :
    Escolhendo :
    Então, a curva está acima do eixo .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral da função em cada intervalo, lembrando de usar o valor absoluto para garantir que a área seja positiva:
Á
Como nos intervalos e a função está acima do eixo , podemos integrar diretamente. No intervalo , a função está abaixo, então usamos o valor negativo da integral para tornar a área positiva:
Á
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. Primeira Integral:
Avaliada de a :
  1. Segunda Integral:
Avaliada de a :
Calculando:
  1. Terceira Integral:
Avaliada de a :

Resposta

Somando todas as áreas:
Á
Então, a área total entre a curva no intervalo é 101,5 unidades quadradas.

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e
Ache a área total entre a curva no intervalo dado.
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