Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as áreas das regiões que estão entre as curvas
e
. Isso envolve calcular a área limitada por essas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais definidas e pontos de interseção das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está por cima da outra nessa região. Observando as equações:
-
é uma linha reta horizontal. -
é uma parábola que abre para cima.
Para
entre -2 e 2, a curva
está acima da parábola
.
Passo 5
A área entre as duas curvas pode ser encontrada calculando a integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo, de
a
:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Avaliada de -2 a 2:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área das regiões compreendidas entre as curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Ache a área total entre a curva no intervalo dado.
Calcule as integrais definidas a seguir:
Ache a área total entre a curva
no intervalo
.
Resolva os PVIs: