Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as áreas das regiões que estão entre as curvas e . Isso envolve calcular a área limitada por essas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais definidas e pontos de interseção das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está por cima da outra nessa região. Observando as equações:
  • é uma linha reta horizontal.
  • é uma parábola que abre para cima.
Para entre -2 e 2, a curva está acima da parábola .

Passo 5

A área entre as duas curvas pode ser encontrada calculando a integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo, de a :
Á

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Avaliada de -2 a 2:

Passo 8

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A área das regiões compreendidas entre as curvas e é unidades quadradas.

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Ache a área total entre a curva no intervalo .
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