Um tanque contém 500 litros de cerveja com de teor alcoólico (em volume). Cerveja com teor alcoólico de é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de e a mistura é bombeada para fora do tanque à mesma taxa. Qual o teor alcoólico da mistura no tanque após uma hora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tanque com 500 litros de cerveja que inicialmente tem 4% de álcool. A gente está adicionando cerveja com 6% de álcool a uma taxa de 5 litros por minuto e removendo a mistura do tanque na mesma taxa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será o teor alcoólico da cerveja no tanque depois de uma hora.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o teor alcoólico vai mudar com o tempo. Como estamos adicionando e removendo a cerveja na mesma velocidade, o volume no tanque permanece constante em 500 litros. Mas a concentração de álcool vai mudar dependendo da diferença entre o que entra e o que sai.

Passo 3

Vamos chamar de concentração de álcool no tanque no tempo (em minutos). A taxa de entrada de álcool é de .

Passo 4

A taxa de saída de álcool depende da concentração atual no tanque. Como estamos removendo 5 litros por minuto com concentração , a taxa de saída de álcool é .

Passo 5

Podemos montar uma equação diferencial que descreve como muda ao longo do tempo:
áíá
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a equação:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 7

O fator integrante é dado por:
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Agora, usamos a condição inicial (4%) para encontrar :
Então, a solução da equação é:

Passo 10

Agora, queremos saber o teor alcoólico após uma hora, ou seja, após 60 minutos. Substituindo na equação:

Passo 11

Calculando aproximadamente:
Então:

Resposta

Após uma hora, o teor alcoólico da cerveja no tanque será aproximadamente .

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