Um tanque contém 500 litros de cerveja com
de teor alcoólico (em volume). Cerveja com teor alcoólico de
é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
e a mistura é bombeada para fora do tanque à mesma taxa. Qual o teor alcoólico da mistura no tanque após uma hora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque com 500 litros de cerveja que inicialmente tem 4% de álcool. A gente está adicionando cerveja com 6% de álcool a uma taxa de 5 litros por minuto e removendo a mistura do tanque na mesma taxa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será o teor alcoólico da cerveja no tanque depois de uma hora.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o teor alcoólico vai mudar com o tempo. Como estamos adicionando e removendo a cerveja na mesma velocidade, o volume no tanque permanece constante em 500 litros. Mas a concentração de álcool vai mudar dependendo da diferença entre o que entra e o que sai.
Passo 3
Vamos chamar
de concentração de álcool no tanque no tempo
(em minutos). A taxa de entrada de álcool é de
.
Passo 4
A taxa de saída de álcool depende da concentração atual no tanque. Como estamos removendo 5 litros por minuto com concentração
, a taxa de saída de álcool é
.
Passo 5
Podemos montar uma equação diferencial que descreve como
muda ao longo do tempo:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a equação:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 7
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial
(4%) para encontrar
:
Então, a solução da equação é:
Passo 10
Agora, queremos saber o teor alcoólico após uma hora, ou seja, após 60 minutos. Substituindo
na equação:
Passo 11
Calculando
aproximadamente:
Então:
Resposta
Após uma hora, o teor alcoólico da cerveja no tanque será aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Resolva os PVIs:
Ache a área total entre a curva
no intervalo
.
Resolva as equações diferenciais:
Resolva os PVIs: