Resolva os PVIs:
dL/dt = k L^2 ln t ; L(1) = -1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por com a condição inicial . O conteúdo principal aqui é a equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis L e t. Reescrevemos a equação como:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Agora, integramos o lado esquerdo em relação a L e o lado direito em relação a t:
A integral do lado esquerdo é fácil de calcular.

Passo 4

Calculando a integral do lado esquerdo:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Para isso, usamos a integração por partes, onde e .

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Então,
onde é outra constante de integração.

Passo 7

Juntando as integrais:
Podemos combinar as constantes :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante C. Substituindo t = 1 e L = -1:

Passo 9

Substituindo C na equação anterior:

Passo 10

Isolando L:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados