Resolva os PVIs:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
com a condição inicial
. O conteúdo principal aqui é a equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Reescrevemos a equação como:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 3
Agora, integramos o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
A integral do lado esquerdo é fácil de calcular.
Passo 4
Calculando a integral do lado esquerdo:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Para isso, usamos a integração por partes, onde
e
.
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Então,
onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Juntando as integrais:
Podemos combinar as constantes
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Passo 9
Substituindo
na equação anterior:
Passo 10
Isolando
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Ache a área total entre a curva
no intervalo
.
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e
Um tanque contém 500 litros de cerveja com
de teor alcoólico (em volume). Cerveja com teor alcoólico de
é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
e a mistura é bombeada para fora do tanque à mesma taxa. Qual o teor alcoólico da mistura no tanque após uma hora?
Resolva as equações diferenciais: