Resolva os PVIs:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por com a condição inicial . O conteúdo principal aqui é a equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Reescrevemos a equação como:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Agora, integramos o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
A integral do lado esquerdo é fácil de calcular.

Passo 4

Calculando a integral do lado esquerdo:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Para isso, usamos a integração por partes, onde e .

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Então,
onde é outra constante de integração.

Passo 7

Juntando as integrais:
Podemos combinar as constantes :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :

Passo 9

Substituindo na equação anterior:

Passo 10

Isolando :

Resposta

A solução do PVI é:

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Ache a área total entre a curva no intervalo .
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas:
e
Um tanque contém 500 litros de cerveja com de teor alcoólico (em volume). Cerveja com teor alcoólico de é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de e a mistura é bombeada para fora do tanque à mesma taxa. Qual o teor alcoólico da mistura no tanque após uma hora?
Resolva as equações diferenciais: