Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: , e . Queremos encontrar a área do triângulo formado por esses três vértices. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial da matéria de Geometria Analítica.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores que formam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos.
O vetor AB é dado por:
E o vetor AC é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos vetores AB e AC, e cuja magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por AB e AC.
O produto vetorial é calculado pela seguinte determinante:
Calculando a determinante, temos:
= i(24 + 40) - j(32 + 36) + k(80 - 54)
= 64i - 68j + 26k
= (64, -68, 26)
Passo 4
A magnitude do produto vetorial |AB times AC| = raiz64^2 + (-68)^2 + 26^2 = raiz4096 + 4624 + 676 = raiz9396 approx 96.98 nos dá a área do paralelogramo. Para obter a área do triângulo, basta dividir esse valor por 2.
Calculando a magnitude:
Resposta
A área do triângulo é aproximadamente unidades quadradas.