Ache a área do triângulo tendo vértices em (0,2,2),(8,8,-2) e (9,12,6).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: , e . Queremos encontrar a área do triângulo formado por esses três vértices. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial da matéria de Geometria Analítica.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores que formam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos.
O vetor AB é dado por:
AB = B - A = (8-0, 8-2, -2-2) = (8, 6, -4)
E o vetor AC é:
AC = C - A = (9-0, 12-2, 6-2) = (9, 10, 4)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos vetores AB e AC, e cuja magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por AB e AC.
O produto vetorial AB times AC = i & j & k 8 & 6 & -4 9 & 10 & 4 é calculado pela seguinte determinante:
AB times AC = i(6 cdot 4 - (-4) cdot 10) - j(8 cdot 4 - (-4) cdot 9) + k(8 cdot 10 - 6 cdot 9)
Calculando a determinante, temos:
= i(24 + 40) - j(32 + 36) + k(80 - 54)
= 64i - 68j + 26k
= (64, -68, 26)

Passo 4

A magnitude do produto vetorial |AB times AC| = raiz64^2 + (-68)^2 + 26^2 = raiz4096 + 4624 + 676 = raiz9396 approx 96.98 nos dá a área do paralelogramo. Para obter a área do triângulo, basta dividir esse valor por 2.
Calculando a magnitude:

Resposta

A área do triângulo é aproximadamente unidades quadradas.

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