Mostre que ísubanel de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer mostrar que o conjunto , que é formado por todos os números da forma onde e são inteiros, é um subanel de . Basicamente, isso significa que deve ser fechado para as operações de adição e multiplicação, e também precisa ter os elementos inversos para a adição. Para resolver isso, vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a adição de dois elementos de continua dentro de . Se pegarmos dois elementos quaisquer e , a soma deles é:
Aqui, e também são inteiros porque a soma de inteiros é inteiro. Portanto, a soma está novamente no conjunto .

Passo 3

Agora, vamos ver se a multiplicação de dois elementos de também está dentro desse conjunto. Multiplicando por , temos:
Sabemos que , então:
Rearranjando:
Novamente, e são inteiros, já que produtos e somas de inteiros são inteiros. Assim, o resultado da multiplicação também está em .

Passo 4

Por último, precisamos garantir que para todo elemento em , exista o inverso aditivo, ou seja, . Vamos ver:
Aqui, e também são inteiros, já que o inverso de um inteiro é outro inteiro. Portanto, o inverso aditivo também está em .

Resposta

Como verificamos que está fechado para adição e multiplicação, e que possui os inversos aditivos, podemos concluir que é de fato um subanel de .

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b) calcular ;
Calcule os determinantes abaixo.
Calcular:
b)
Ache a área do triângulo tendo vértices em e .