Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer mostrar que o conjunto , que é formado por todos os números da forma onde e são inteiros, é um subanel de . Basicamente, isso significa que deve ser fechado para as operações de adição e multiplicação, e também precisa ter os elementos inversos para a adição. Para resolver isso, vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a adição de dois elementos de continua dentro de . Se pegarmos dois elementos quaisquer e , a soma deles é:
Aqui, e também são inteiros porque a soma de inteiros é inteiro. Portanto, a soma está novamente no conjunto .
Passo 3
Agora, vamos ver se a multiplicação de dois elementos de também está dentro desse conjunto. Multiplicando por , temos:
Sabemos que , então:
Rearranjando:
Novamente, e são inteiros, já que produtos e somas de inteiros são inteiros. Assim, o resultado da multiplicação também está em .
Passo 4
Por último, precisamos garantir que para todo elemento em , exista o inverso aditivo, ou seja, . Vamos ver:
Aqui, e também são inteiros, já que o inverso de um inteiro é outro inteiro. Portanto, o inverso aditivo também está em .
Resposta
Como verificamos que está fechado para adição e multiplicação, e que possui os inversos aditivos, podemos concluir que é de fato um subanel de .