Mostre que
ísubanel de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer mostrar que o conjunto
, que é formado por todos os números da forma
onde
e
são inteiros, é um subanel de
. Basicamente, isso significa que
deve ser fechado para as operações de adição e multiplicação, e também precisa ter os elementos inversos para a adição. Para resolver isso, vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a adição de dois elementos de
continua dentro de
. Se pegarmos dois elementos quaisquer
e
, a soma deles é:
Aqui,
e
também são inteiros porque a soma de inteiros é inteiro. Portanto, a soma está novamente no conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos ver se a multiplicação de dois elementos de
também está dentro desse conjunto. Multiplicando
por
, temos:
Sabemos que
, então:
Rearranjando:
Novamente,
e
são inteiros, já que produtos e somas de inteiros são inteiros. Assim, o resultado da multiplicação também está em
.
Passo 4
Por último, precisamos garantir que para todo elemento
em
, exista o inverso aditivo, ou seja,
. Vamos ver:
Aqui,
e
também são inteiros, já que o inverso de um inteiro é outro inteiro. Portanto, o inverso aditivo também está em
.
Resposta
Como verificamos que
está fechado para adição e multiplicação, e que possui os inversos aditivos, podemos concluir que
é de fato um subanel de
.