Mostre que L[raiz2]:=a+b raiz2 mid a, b in Z ísubanel de R.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer mostrar que o conjunto L[raiz2], que é formado por todos os números da forma a + braiz2 onde a e b são inteiros, é um subanel de R. Basicamente, isso significa que L[raiz2] deve ser fechado para as operações de adição e multiplicação, e também precisa ter os elementos inversos para a adição. Para resolver isso, vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a adição de dois elementos de L[raiz2] continua dentro de L[raiz2]. Se pegarmos dois elementos quaisquer a + braiz2 e c + draiz2, a soma deles é:
(a + braiz2) + (c + draiz2) = (a + c) + (b + d)raiz2
Aqui, (a + c) e (b + d) também são inteiros porque a soma de inteiros é inteiro. Portanto, a soma está novamente no conjunto L[raiz2].

Passo 3

Agora, vamos ver se a multiplicação de dois elementos de L[raiz2] também está dentro desse conjunto. Multiplicando a + braiz2 por c + draiz2, temos:
(a + braiz2)(c + draiz2) = ac + adraiz2 + bcraiz2 + bd(raiz2)^2
Sabemos que (raiz2)^2 = 2, então:
= ac + (ad + bc)raiz2 + 2bd
Rearranjando:
= (ac + 2bd) + (ad + bc)raiz2
Novamente, ac + 2bd e ad + bc são inteiros, já que produtos e somas de inteiros são inteiros. Assim, o resultado da multiplicação também está em L[raiz2].

Passo 4

Por último, precisamos garantir que para todo elemento a + braiz2 em L[raiz2], exista o inverso aditivo, ou seja, -(a + braiz2). Vamos ver:
-(a + braiz2) = (-a) + (-b)raiz2
Aqui, -a e -b também são inteiros, já que o inverso de um inteiro é outro inteiro. Portanto, o inverso aditivo também está em L[raiz2].

Resposta

Como verificamos que L[raiz2] está fechado para adição e multiplicação, e que possui os inversos aditivos, podemos concluir que L[raiz2] é de fato um subanel de R.

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