Calcule os determinantes abaixo.
|cccc1 & 0 & 0 & 0 1 & -3 & 0 & 0 4 & -9 & -2 & 0 2 & 2 & 2 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de determinantes, que é fundamental em álgebra linear para entender propriedades de matrizes, como invertibilidade. Para resolver, vamos precisar utilizar a expansão por cofatores, que é uma técnica passo a passo para encontrar o determinante de matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo por uma linha ou coluna. A ideia é escolher uma linha ou coluna com zeros, para facilitar os cálculos, já que termos multiplicados por zero não contribuem para o determinante. Olhando para a matriz dada:
1 & 0 & 0 & 0 1 & -3 & 0 & 0 4 & -9 & -2 & 0 2 & 2 & 2 & 2
Vemos que a primeira coluna tem apenas um número diferente de zero, que é o 1 na posição (1,1). Então, vamos expandir o determinante usando essa coluna para simplificar.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da expansão por cofatores na primeira coluna. A fórmula geral para o determinante é:
det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Mij)
Onde det(A) = (-1)^1+1 cdot 1 cdot det(M11) = 1 cdot det(M11) é o elemento da matriz, e é a matriz menor que sobra ao remover a linha e a coluna .
No nosso caso, estamos expandindo pela primeira coluna, então . Só temos um elemento diferente de zero nessa coluna, que é . Então, o determinante fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz menor M11 = -3 & 0 & 0 -9 & -2 & 0 2 & 2 & 2 removendo a primeira linha e a primeira coluna:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a mesma técnica de expansão por cofatores. Novamente, observamos zeros para facilitar.

Passo 5

Na matriz det(M11) = (-1)^1+3 cdot 0 cdot det(M13) + (-1)^2+3 cdot 0 cdot det(M23) + (-1)^3+3 cdot 2 cdot det(M33) , a terceira coluna tem apenas um elemento diferente de zero, que é o 2 na posição (3,3). Vamos expandir o determinante por essa coluna:
det(M11) = 1 cdot 2 cdot det(M33)
Os dois primeiros termos são zeros, então sobra:

Passo 6

Agora, encontramos a matriz menor M33 = -3 & 0 -9 & -2 removendo a terceira linha e a terceira coluna de det( a & b c & d ) = ad - bc :
det(M33) = (-3)(-2) - (-9)(0) = 6 - 0 = 6
Vamos calcular o determinante dessa matriz 2x2. Para uma matriz 2x2:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, voltando aos passos anteriores, temos:
det(M11) = 2 cdot 6 = 12
E, como det(A) = 12 , então:

Resposta

O determinante da matriz dada é 12.

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