Sefa T=(lla & b 0 & a) rvert, a, b in R subset mu2(R)
Prove que T e^2 subcorel de mu2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de matrizes com determinadas características. Nosso objetivo é provar que é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto T = a & b 0 & a ,g|, a, b in R . Ele é definido como:
Isso significa que cada matriz em tem a forma onde os elementos da diagonal principal são iguais a , o elemento abaixo da diagonal é sempre 0, e o elemento acima da diagonal é .

Passo 3

Para provar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades fundamentais:
  1. Subespaço não vazio: não está vazio.
  2. Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

1. Subespaço não vazio:
Para mostrar que 0 = 0 & 0 0 & 0 não está vazio, basta encontrar pelo menos uma matriz que pertença a . Vamos considerar e :
Essa matriz está em , então não está vazio.

Passo 5

2. Fechamento pela adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer A = a & b 0 & a , B = c & d 0 & c e A + B = a + c & b + d 0 + 0 & a + c = a + c & b + d 0 & a + c em :
Agora, somando :
Note que e são números reais, já que . Portanto, também está em .

Passo 6

3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz A = a & b 0 & a em kA = ka & kb k cdot 0 & ka = ka & kb 0 & ka e um escalar :
Multiplicando por :
Como e são números reais, também está em .

Resposta

Como verificamos que não está vazio, e que é fechado tanto pela adição quanto pela multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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