Ache a área , e região limitada pelas três curvas , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar a área da região que está limitada por três curvas: , e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a ideia de integrar entre os pontos de interseção dessas curvas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e então calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Isso significa resolver as equações duas a duas para descobrir os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Resolvendo a equação quadrática:
Correspondentes valores de :
Para ,
Para ,
Então, os pontos são e .
Passo 5
Em seguida, encontramos a interseção entre e .
Igualando as duas:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, essas duas curvas não se intersectam no plano real. Ou seja, não há pontos de interseção entre e .
Passo 6
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região que estamos estudando. Observamos que a curva está acima das outras duas curvas no intervalo considerado. Então, a área que queremos calcular está entre e , entre e .
Passo 7
Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula:
onde é a função de cima e a de baixo, e e são os limites de integração.
Aqui, e , com e .
Passo 8
Vamos configurar a integral:
Passo 9
Calculando a integral:
Á
Á
Á
Á
Á
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.