Ache a área
y = 8 - x^2, e região limitada pelas três curvas y = x^2,
x - y + 12 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar a área da região que está limitada por três curvas: , e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a ideia de integrar entre os pontos de interseção dessas curvas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e então calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Isso significa resolver as equações duas a duas para descobrir os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Resolvendo a equação quadrática:
Correspondentes valores de :
Para ,
Para ,
Então, os pontos são e .

Passo 5

Em seguida, encontramos a interseção entre e .
Igualando as duas:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, essas duas curvas não se intersectam no plano real. Ou seja, não há pontos de interseção entre e .

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região que estamos estudando. Observamos que a curva está acima das outras duas curvas no intervalo considerado. Então, a área que queremos calcular está entre e , entre e .

Passo 7

Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula:
Á
onde é a função de cima e a de baixo, e e são os limites de integração.
Aqui, e , com e .

Passo 8

Vamos configurar a integral:
Á
Á

Passo 9

Calculando a integral:
Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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