Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em cada caso: (b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a região onde a gente está integrando e depois inverter a ordem das integrais. Estamos trabalhando com integrais duplas aqui. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem essa região no plano xy.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral original:
.
- Limite externo:
vai de 0 até 1. - Limite interno: Para cada
, vai de 0 até .
Vamos esboçar isso no plano xy:
- Desenhe um sistema de coordenadas com
no eixo horizontal e no eixo vertical. - Trace a linha
(eixo x) e . - A curva
é a mesma que . - A região de integração está abaixo de
e à esquerda de , ou seja, entre e , e entre e .
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem das integrais. Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
.
Para fazer isso, precisamos redefinir os limites:
- Observe que
varia de 0 até , que é 1. - Para cada
, varia de (a curva ) até 1.
Então, os novos limites serão:
- Limite externo:
vai de 0 até 1. - Limite interno: Para cada
, vai de até 1.
Resposta
A ordem invertida da integral é: