Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em cada caso: (b) integral0^1 integral0^raizy f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a região onde a gente está integrando e depois inverter a ordem das integrais. Estamos trabalhando com integrais duplas aqui. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem essa região no plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral original: .
  • Limite externo: vai de 0 até 1.
  • Limite interno: Para cada , vai de 0 até .
Vamos esboçar isso no plano xy:
  1. Desenhe um sistema de coordenadas com no eixo horizontal e no eixo vertical.
  2. Trace a linha (eixo x) e .
  3. A curva é a mesma que .
  4. A região de integração está abaixo de e à esquerda de , ou seja, entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem das integrais. Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .
Para fazer isso, precisamos redefinir os limites:
  1. Observe que varia de 0 até , que é 1.
  2. Para cada , varia de (a curva ) até 1.
Então, os novos limites serão:
  • Limite externo: vai de 0 até 1.
  • Limite interno: Para cada , vai de até 1.

Resposta

A ordem invertida da integral é:
integral0^1 integralx^2^1 f(x, y) , dy , dx

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