Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. f_n:[0,1] -> R, f_n(x) = (1+x)^(-n)

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a sequência de funções , definida no intervalo , converge ponto a ponto. Além disso, precisamos verificar se essa convergência é uniforme no domínio dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências de funções, especificamente a convergência ponto a ponto e a convergência uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência ponto a ponto. Dizemos que uma sequência de funções converge ponto a ponto para uma função se, para cada fixo no domínio, .
Vamos calcular o limite de para cada .

Passo 3

Para :
Portanto, .
Para :
Note que , então é uma potência negativa de um número maior que 1. Conforme aumenta, tende a zero.
Então, a função limite é:
Isso mostra que a sequência converge ponto a ponto para .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme ocorre quando o máximo da diferença entre e em todo o domínio tende a zero.
Matematicamente, queremos que:
Vamos calcular para todo .
Para :
Para :
Então, precisamos encontrar o supremo de em .

Passo 5

A função é decrescente em no intervalo , pois conforme aumenta, aumenta, fazendo diminuir.
Logo, o valor máximo ocorre em :
Portanto:
E claramente, .
Isso significa que a convergência não é uniforme.

Resposta

A sequência de funções converge ponto a ponto para a função
No entanto, essa convergência não é uniforme no intervalo .

Exercícios relacionados