Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a sequência de funções
, definida no intervalo
, converge ponto a ponto. Além disso, precisamos verificar se essa convergência é uniforme no domínio dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências de funções, especificamente a convergência ponto a ponto e a convergência uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência ponto a ponto. Dizemos que uma sequência de funções
converge ponto a ponto para uma função
se, para cada
fixo no domínio,
.
Vamos calcular o limite de
para cada
.
Passo 3
Para
:
Portanto,
.
Para
:
Note que , então
é uma potência negativa de um número maior que 1. Conforme
aumenta,
tende a zero.
Note que
Então, a função limite
é:
Isso mostra que a sequência
converge ponto a ponto para
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a convergência é uniforme. A convergência uniforme ocorre quando o máximo da diferença entre
e
em todo o domínio tende a zero.
Matematicamente, queremos que:
Vamos calcular
para todo
.
Para
:
Para
:
Então, precisamos encontrar o supremo de
em
.
Passo 5
A função
é decrescente em
no intervalo
, pois conforme
aumenta,
aumenta, fazendo
diminuir.
Logo, o valor máximo ocorre em
:
Portanto:
E claramente,
.
Isso significa que a convergência não é uniforme.
Resposta
A sequência de funções
converge ponto a ponto para a função
No entanto, essa convergência não é uniforme no intervalo
.