Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
(Sugestão: no último item, use o Exercício 2 da Seção 2 da Lista 5.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a sequência de funções
converge pontualmente e depois verificar se essa convergência também é uniforme no domínio dos números reais (
). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções e os conceitos de convergência pontual e uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que a sequência
converge pontualmente para uma função
se, para cada valor fixo de
, o limite de
conforme
vai para o infinito é igual a
. Ou seja:
Vamos calcular esse limite para nossa função.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito. Podemos reescrever a função usando exponentes:
Queremos encontrar:
Dependendo do valor de
, temos dois casos:
- Se
: tende a 0 quando tende a infinito. Então:
- Se
: cresce sem limite quando tende a infinito. Então, podemos aproximar:
- Se
: A função fica:
Passo 4
Então, juntando tudo, a função limite
é:
Isso mostra que a sequência
converge pontualmente para
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa convergência é uniforme. A convergência é uniforme se:
Vamos analisar a diferença
para diferentes valores de
:
-
Para
: e . A diferença tende a 0. -
Para
: e . Vamos ver o limite:
A diferença também tende a 0.
No entanto, para verificar a uniformidade, precisamos ver o comportamento máximo dessa diferença em todo o domínio. Observamos que para
, a diferença é
, que é sempre menor ou igual a
. Como
quando
, essa diferença tende a 0 uniformemente.
Resposta
A sequência de funções
converge pontualmente para a função
e essa convergência é uniforme no domínio
.