Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. f_n: R -> R, f_n(x) = raiz[n](1 + |x|^n) (Sugestão: no último item, use o Exercício 2 da Seção 2 da Lista 5.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a sequência de funções converge pontualmente e depois verificar se essa convergência também é uniforme no domínio dos números reais ( ). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções e os conceitos de convergência pontual e uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que a sequência converge pontualmente para uma função se, para cada valor fixo de , o limite de conforme vai para o infinito é igual a . Ou seja:
Vamos calcular esse limite para nossa função.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a infinito. Podemos reescrever a função usando exponentes:
Queremos encontrar:
Dependendo do valor de , temos dois casos:
  1. Se : tende a 0 quando tende a infinito. Então:
  1. Se : cresce sem limite quando tende a infinito. Então, podemos aproximar:
  1. Se : A função fica:

Passo 4

Então, juntando tudo, a função limite é:
Isso mostra que a sequência converge pontualmente para .

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa convergência é uniforme. A convergência é uniforme se:
Vamos analisar a diferença para diferentes valores de :
  1. Para : e . A diferença tende a 0.
  2. Para : e . Vamos ver o limite:
A diferença também tende a 0.
No entanto, para verificar a uniformidade, precisamos ver o comportamento máximo dessa diferença em todo o domínio. Observamos que para , a diferença é , que é sempre menor ou igual a . Como quando , essa diferença tende a 0 uniformemente.

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para a função
e essa convergência é uniforme no domínio .

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