Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = x / (1 + n x^2). Mostre que f_n'(0) não implica f'(0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas para todo e . A questão quer que mostremos que a derivada de em , denotada por , não se aproxima da derivada de uma função limite .

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de em relação a . Usamos a regra do quociente para derivar :
Simplificando isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo na expressão que encontramos:
Então, para todo , temos .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a função limite quando tende ao infinito. Observando , vemos que:
E para :
Portanto, a função limite é para todo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de . Já que , sua derivada é:
Especialmente, em :

Passo 6

Finalmente, comparamos e :
Isso mostra que não converge para .

Resposta

Para todo , e . Assim, .

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