Para cada
, seja
dada por
. Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções
definidas para todo
e
. A questão quer que mostremos que a derivada de
em
, denotada por
, não se aproxima da derivada de uma função limite
.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de
em relação a
. Usamos a regra do quociente para derivar
:
Simplificando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo
na expressão que encontramos:
Então, para todo
, temos
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a função limite
quando
tende ao infinito. Observando
, vemos que:
E para
:
Portanto, a função limite é
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de
. Já que
, sua derivada é:
Especialmente, em
:
Passo 6
Finalmente, comparamos
e
:
Isso mostra que
não converge para
.
Resposta
Para todo
,
e
. Assim,
.