Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vi) y = ln(x) e a reta y = (x - 1) / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre a curva e a reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a ideia de calcular a área entre duas curvas através da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso acontece quando . Para resolver isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas. Pelo gráfico, vemos que as curvas se cruzam em e em outro ponto próximo a (onde é aproximadamente 2,718).

Passo 3

Vamos confirmar as interseções. Para :
Então, é um ponto de interseção.
Para :
Não é exatamente igual a 1, então precisamos ajustar. Vamos tentar :
Ainda não são iguais. Ajustando mais precisamente, encontramos que a segunda interseção ocorre aproximadamente em .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração e , precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para saber qual função subtrair da outra ao calcular a área.
Vamos calcular o valor das funções em um ponto intermediário, por exemplo, :
Como nesse intervalo, a curva está acima da reta.

Passo 5

Com essas informações, podemos montar a integral para calcular a área entre as duas curvas:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar :
Agora, vamos integrar :

Passo 7

Subtraindo as integrais, temos:
Simplificando dentro do colchete:

Passo 8

Agora, avaliamos a expressão no limite superior e no limite inferior , e subtraímos:
Sabemos que , então simplificamos a segunda parte:

Passo 9

Calculando cada termo numericamente:
Para :
Somando esses valores:
Para :
Somando esses valores:

Passo 10

Finalmente, subtraímos os resultados:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é aproximadamente 0,173 unidades de área.

Exercícios relacionados

Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
f(t) = 4 - t^2 e [a, b]=[-2,0]
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 d z
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
b=integral-1^1(u^2+2 u) d u
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
f=integral-2^2 2 y^4+3 y^2 d y