Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vi)
e a reta
(vi)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre a curva
e a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a ideia de calcular a área entre duas curvas através da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso acontece quando
. Para resolver isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas. Pelo gráfico, vemos que as curvas se cruzam em
e em outro ponto próximo a
(onde
é aproximadamente 2,718).
Passo 3
Vamos confirmar as interseções. Para
:
Então,
é um ponto de interseção.
Para
:
Não é exatamente igual a 1, então precisamos ajustar. Vamos tentar
:
Ainda não são iguais. Ajustando mais precisamente, encontramos que a segunda interseção ocorre aproximadamente em
.
Passo 4
Agora que temos os limites de integração
e
, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para saber qual função subtrair da outra ao calcular a área.
Vamos calcular o valor das funções em um ponto intermediário, por exemplo,
:
Como
nesse intervalo, a curva
está acima da reta.
Passo 5
Com essas informações, podemos montar a integral para calcular a área
entre as duas curvas:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar
:
Agora, vamos integrar
:
Passo 7
Subtraindo as integrais, temos:
Simplificando dentro do colchete:
Passo 8
Agora, avaliamos a expressão no limite superior
e no limite inferior
, e subtraímos:
Sabemos que
, então simplificamos a segunda parte:
Passo 9
Calculando cada termo numericamente:
Para
:
Somando esses valores:
Para
:
Somando esses valores:
Passo 10
Finalmente, subtraímos os resultados:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é aproximadamente 0,173 unidades de área.
Exercícios relacionados
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Encontre a expressão da derivada seguinte
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Calcule o valor de cada inegral seguinte: