Encontre a expressão da derivada seguinte
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a derivada, em relação a
, da integral
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma integral com limite superior que depende de
. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a função que está sendo integrada. Aqui, a função é
. A integral
representa a área sob a curva de
desde
até
.
Passo 3
Para derivar essa integral em relação a
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integranda avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite. Além disso, como o limite superior é
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Calculamos a derivada de
, que é
. Substituindo na expressão, fica:
Passo 6
Simplificando os termos, temos:
Resposta
A derivada da integral é
.
Exercícios relacionados
Encontre a expressão da derivada seguinte
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(vi) e a reta
(vi)