Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iii)
e o eixo dos
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva
e o eixo dos
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o uso de integrais para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas duas curvas se encontram e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre a curva
e o eixo dos
. O eixo dos
é dado por
. Para achar onde se encontram, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo essa equação para
:
Então, as curvas se encontram no ponto
.
Passo 4
Agora, precisamos entender o comportamento da curva
. Sabemos que para
,
, e conforme
aumenta,
também aumenta, pois é uma função crescente. Quando
,
, que é nosso ponto de interseção.
Passo 5
Para calcular a área entre a curva e o eixo dos
, vamos integrar a função
de
até o ponto onde a curva cruza o eixo dos
, que é
. Mas nesse caso, percebemos que a curva cruza o eixo dos
apenas nesse ponto, então precisamos ajustar nossos limites de integração para onde a curva está acima do eixo.
Passo 6
Na verdade, como a curva
cruza o eixo dos
apenas em
e está acima do eixo para
, vamos considerar que a área que queremos calcular está entre
e onde a curva retorna ao eixo, mas como isso não acontece, nossa área será limitada apenas por
e outro ponto de interesse. Para simplificar, vamos calcular a área de
até
.
Passo 7
A fórmula para a área entre a curva
e o eixo dos
entre
e
é dada por:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos termo a termo:
Avaliar entre -1 e 0:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e o eixo dos
é
unidades quadradas.
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Encontre a expressão da derivada seguinte
Encontre a expressão da derivada seguinte
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(viii) , o eixo
e a reta
(viii)
Calcule o valor de cada inegral seguinte: