Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iii) y = x^3 + 1 e o eixo dos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva e o eixo dos . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o uso de integrais para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas duas curvas se encontram e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre a curva e o eixo dos . O eixo dos é dado por . Para achar onde se encontram, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo essa equação para :
Então, as curvas se encontram no ponto .

Passo 4

Agora, precisamos entender o comportamento da curva . Sabemos que para , , e conforme aumenta, também aumenta, pois é uma função crescente. Quando , , que é nosso ponto de interseção.

Passo 5

Para calcular a área entre a curva e o eixo dos , vamos integrar a função de até o ponto onde a curva cruza o eixo dos , que é . Mas nesse caso, percebemos que a curva cruza o eixo dos apenas nesse ponto, então precisamos ajustar nossos limites de integração para onde a curva está acima do eixo.

Passo 6

Na verdade, como a curva cruza o eixo dos apenas em e está acima do eixo para , vamos considerar que a área que queremos calcular está entre e onde a curva retorna ao eixo, mas como isso não acontece, nossa área será limitada apenas por e outro ponto de interesse. Para simplificar, vamos calcular a área de até .

Passo 7

A fórmula para a área entre a curva e o eixo dos entre e é dada por:
No nosso caso, , e .

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos termo a termo:
Avaliar entre -1 e 0:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e o eixo dos é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Encontre a expressão da derivada seguinte
dd t integral1^t^3 raiz[3]a^2+a+1 d a
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd a integral-a^a sen(1+cos (e^x)) d x
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(viii) y = 1 + ln(x), o eixo x e a reta x = 3
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
a=integral0^2(6 t^2-4 t+1) d t